حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2} + 4}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $x = 2 \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $2 \sec^{2} (t)$ موجبة.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4 \tan^{2} (t) + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \tan^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2.2

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.2.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.3

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{4 \sec^{2} (t)}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أعِد كتابة $4 \sec^{2} (t)$ بالصيغة ${(2 \sec (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2} (2 \sec (t))} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 \sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $2 \sec (t)$ من ${(2 \tan (t))}^{2} (2 \sec (t))$ .

$\int \frac{1}{2 \sec (t) ({(2 \tan (t))}^{2})} (2 \sec^{2} (t)) d t$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $2 \sec (t)$ من $2 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{2 \sec (t) ({(2 \tan (t))}^{2})} (2 \sec (t) (\sec (t))) d t$

خطوة 2.2.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{2 \sec (t) {(2 \tan (t))}^{2}} (2 \sec (t) \sec (t)) d t$

خطوة 2.2.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2}} \sec (t) d t$

خطوة 2.2.2

اجمع $\frac{1}{{(2 \tan (t))}^{2}}$ و $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(2 \tan (t))}^{2}} d t$

خطوة 2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \tan (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{{(2 (\tan (t)))}^{2}} d t$

خطوة 2.2.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 (\tan (t))$ .

$\int \frac{\sec (t)}{2^{2} \tan^{2} (t)} d t$

خطوة 2.2.3.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\int \frac{\sec (t)}{4 \tan^{2} (t)} d t$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int \frac{\sec (t)}{\tan^{2} (t)} d t$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ بالصيغة $\frac{\csc (x)}{\cot (x)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{\tan^{2} (t)} d t$

خطوة 4.2

طبّق متطابقة المقلوب.

$\frac{1}{4} \int \frac{\frac{\csc (t)}{\cot (t)}}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t)} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

خطوة 4.3.2

اجمع.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t) \cdot 1}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

خطوة 4.3.3

اضرب $\csc (t)$ في $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) {(\frac{1}{\cot (t)})}^{2}} d t$

خطوة 4.3.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cot (t)}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1^{2}}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

خطوة 4.3.4.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\cot (t) \frac{1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

خطوة 4.3.5

اجمع $\cot (t)$ و $\frac{1}{{\cot (t)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

خطوة 4.3.6

اختزِل العبارة $\frac{\cot (t)}{{\cot (t)}^{2}}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

اضرب في $1$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{{\cot (t)}^{2}}} d t$

خطوة 4.3.6.2

أخرِج العامل $\cot (t)$ من ${\cot (t)}^{2}$ .

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

خطوة 4.3.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{\cot (t) \cdot 1}{\cot (t) \cot (t)}} d t$

خطوة 4.3.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} \int \frac{\csc (t)}{\frac{1}{\cot (t)}} d t$

خطوة 4.3.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{1}{4} \int \csc (t) \cot (t) d t$

خطوة 5

بما أن مشتق $- \csc (t)$ هو $\csc (t) \cot (t)$ ، إذن تكامل $\csc (t) \cot (t)$ هو $- \csc (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \csc (t) + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط.

$\frac{1}{4} (- \csc (t)) + C$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $\csc (t)$ .

$- \frac{\csc (t)}{4} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\csc (\arctan (\frac{x}{2}))}{4} + C$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

ارسم مثلثًا في المستوى تقع رؤوسه عند النقطتين $(1, \frac{x}{2})$ و $(1, 0)$ ونقطة الأصل. ومن ثمَّ، $\arctan (\frac{x}{2})$ هي الزاوية المحصورة بين الاتجاه الموجب للمحور السيني الموجب والشعاع الذي يبدأ من نقطة الأصل ويمر عبر $(1, \frac{x}{2})$ . إذن، $\csc (\arctan (\frac{x}{2}))$ تساوي $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

خطوة 8.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 8.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 8.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 8.1.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 8.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 8.1.7

أعِد كتابة $\frac{4 + x^{2}}{4}$ بالصيغة ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.7.1

أخرِج عامل القوة الكاملة $1^{2}$ من $4 + x^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 8.1.7.2

أخرِج عامل القوة الكاملة $2^{2}$ من $4$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 8.1.7.3

أعِد ترتيب الكسر $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 8.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 8.1.9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

خطوة 8.1.10

اجمع.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 2}{2 x}}{4} + C$

خطوة 8.1.11

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.11.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 2}{2 x}}{4} + C$

خطوة 8.1.11.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x}}{4} + C$

خطوة 8.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

خطوة 8.3

اجمع.

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}} \cdot 1}{x \cdot 4} + C$

خطوة 8.4

اضرب $\sqrt{4 + x^{2}}$ في $1$ .

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{x \cdot 4} + C$

خطوة 8.5

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{4 x} + C$