حساب المثلثات الأمثلة

${(z - 3)}^{3} = 2 i$

خطوة 1

عوّض بقيمة $z - 3$ التي تساوي $u$ .

$u^{3} = 2 i$

خطوة 2

هذه هي الصيغة المثلثية للعدد المركب وبها $| z |$ يمثل المقياس و $θ$ يمثل الزاوية الناشئة في المستوى العقدي.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

خطوة 3

مقياس العدد المركب يمثل طول المسافة بين العدد المركب ونقطة الأصل في المستوى المركب.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ حيث $z = a + b i$

خطوة 4

عوّض بالقيمتين الفعليتين لـ $a = 0$ و $b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

خطوة 5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$| z | = 2$

خطوة 6

زاوية النقطة على المستوى العقدي هي المماس العكسي لجزء العدد المركب على الجزء الحقيقي.

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

خطوة 7

بما أن المتغير المستقل غير معرّف و $b$ موجبة، إذن زاوية النقطة في المستوى العقدي هي $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

خطوة 8

عوّض بقيمتَي $θ = \frac{π}{2}$ و $| z | = 2$ .

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 9

استبدِل المتعادل الأيمن بالصيغة المثلثية.

$u^{3} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 10

استخدِم مبرهنة دي موافر لإيجاد معادلة $u$ .

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = 2 i = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 11

قم بمساواة معامل الصيغة المثلثية ليعادل $r^{3}$ لإيجاد قيمة $r$ .

$r^{3} = 2$

خطوة 12

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \sqrt[3]{2}$

خطوة 13

أوجِد القيمة التقريبية لـ $r$ .

$r = 1.25992104$

خطوة 14

أوجِد القيم الممكنة لـ $θ$ .

$c o s (3 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ و $s i n (3 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

خطوة 15

يؤدي إيجاد جميع القيم الممكنة لـ $θ$ إلى المعادلة $3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

خطوة 16

أوجِد قيمة $θ$ لـ $r = 0$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

خطوة 17

أوجِد قيمة $θ$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1

اضرب $2 π (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1.1.1

اضرب $0$ في $2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

خطوة 17.1.1.2

اضرب $0$ في $π$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 0$

خطوة 17.1.2

أضف $\frac{π}{2}$ و $0$ .

$3 θ = \frac{π}{2}$

خطوة 17.2

اقسِم كل حد في $3 θ = \frac{π}{2}$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

اقسِم كل حد في $3 θ = \frac{π}{2}$ على $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

خطوة 17.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

خطوة 17.2.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

خطوة 17.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 17.2.3.2

اضرب $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.3.2.1

اضرب $\frac{π}{2}$ في $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{π}{2 \cdot 3}$

خطوة 17.2.3.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$θ = \frac{π}{6}$

خطوة 18

استخدِم قيمتَي $θ$ و $r$ لإيجاد حل المعادلة $u^{3} = 2 i$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

خطوة 19

حوّل الحل إلى الشكل المستطيل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

خطوة 19.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

خطوة 19.1.3

اجمع $i$ و $\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

خطوة 19.2

طبّق خاصية التوزيع.

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

خطوة 19.3

اضرب $1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.3.1

اجمع $1.25992104$ و $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

خطوة 19.3.2

اضرب $1.25992104$ في $\sqrt{3}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

خطوة 19.4

اجمع $1.25992104$ و $\frac{i}{2}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

خطوة 19.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.5.1

اقسِم $2.18224727$ على $2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

خطوة 19.5.2

أخرِج العامل $1.25992104$ من $1.25992104 i$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

خطوة 19.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

خطوة 19.5.4

افصِل الكسور.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

خطوة 19.5.5

اقسِم $1.25992104$ على $2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

خطوة 19.5.6

اقسِم $i$ على $1$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 i$

خطوة 20

استبدِل $u$ بـ $z - 3$ لحساب قيمة $z$ بعد الإزاحة إلى اليمين.

$z_{0} = 3 + 1.09112363 + 0.62996052 i$

خطوة 21

أوجِد قيمة $θ$ لـ $r = 1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

خطوة 22

أوجِد قيمة $θ$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1.1

اضرب $2$ في $1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

خطوة 22.1.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 22.1.3

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

خطوة 22.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

خطوة 22.1.5

اضرب $2$ في $2$ .

$3 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

خطوة 22.1.6

أضف $π$ و $4 π$ .

$3 θ = \frac{5 π}{2}$

خطوة 22.2

اقسِم كل حد في $3 θ = \frac{5 π}{2}$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.1

اقسِم كل حد في $3 θ = \frac{5 π}{2}$ على $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

خطوة 22.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

خطوة 22.2.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

خطوة 22.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 22.2.3.2

اضرب $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.3.2.1

اضرب $\frac{5 π}{2}$ في $\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

خطوة 22.2.3.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

خطوة 23

استخدِم قيمتَي $θ$ و $r$ لإيجاد حل المعادلة $u^{3} = 2 i$ .

$u_{1} = 1.25992104 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

خطوة 24

حوّل الحل إلى الشكل المستطيل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$u_{1} = 1.25992104 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

خطوة 24.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{6})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

خطوة 24.1.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

خطوة 24.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{6})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

خطوة 24.1.5

اجمع $i$ و $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

خطوة 24.2

طبّق خاصية التوزيع.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

خطوة 24.3

اضرب $1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.3.1

اضرب $- 1$ في $1.25992104$ .

$u_{1} = - 1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

خطوة 24.3.2

اجمع $- 1.25992104$ و $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

خطوة 24.3.3

اضرب $- 1.25992104$ في $\sqrt{3}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

خطوة 24.4

اجمع $1.25992104$ و $\frac{i}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

خطوة 24.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.5.1

اقسِم $- 2.18224727$ على $2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

خطوة 24.5.2

أخرِج العامل $1.25992104$ من $1.25992104 i$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

خطوة 24.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

خطوة 24.5.4

افصِل الكسور.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

خطوة 24.5.5

اقسِم $1.25992104$ على $2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

خطوة 24.5.6

اقسِم $i$ على $1$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 i$

خطوة 25

استبدِل $u$ بـ $z - 3$ لحساب قيمة $z$ بعد الإزاحة إلى اليمين.

$z_{1} = 3 - 1.09112363 + 0.62996052 i$

خطوة 26

أوجِد قيمة $θ$ لـ $r = 2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

خطوة 27

أوجِد قيمة $θ$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.1.1

اضرب $2$ في $2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

خطوة 27.1.2

لكتابة $4 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 27.1.3

اجمع $4 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

خطوة 27.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

خطوة 27.1.5

اضرب $2$ في $4$ .

$3 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

خطوة 27.1.6

أضف $π$ و $8 π$ .

$3 θ = \frac{9 π}{2}$

خطوة 27.2

اقسِم كل حد في $3 θ = \frac{9 π}{2}$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.2.1

اقسِم كل حد في $3 θ = \frac{9 π}{2}$ على $3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

خطوة 27.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

خطوة 27.2.2.1.2

اقسِم $θ$ على $1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

خطوة 27.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 27.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 27.2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9 π$ .

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 27.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

خطوة 27.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$θ = \frac{3 π}{2}$

خطوة 28

استخدِم قيمتَي $θ$ و $r$ لإيجاد حل المعادلة $u^{3} = 2 i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

خطوة 29

حوّل الحل إلى الشكل المستطيل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 29.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 29.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

خطوة 29.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

خطوة 29.1.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- \sin (\frac{π}{2})))$

خطوة 29.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- 1 \cdot 1))$

خطوة 29.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \cdot - 1)$

خطوة 29.1.6

انقُل $- 1$ إلى يسار $i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - 1 \cdot i)$

خطوة 29.1.7

أعِد كتابة $- 1 i$ بالصيغة $- i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - i)$

خطوة 29.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 29.2.1

اطرح $i$ من $0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (- i)$

خطوة 29.2.2

اضرب $- 1$ في $1.25992104$ .

$u_{2} = - 1.25992104 i$

خطوة 30

استبدِل $u$ بـ $z - 3$ لحساب قيمة $z$ بعد الإزاحة إلى اليمين.

$z_{2} = 3 - 1.25992104 i$

خطوة 31

هذه هي الحلول المركبة لـ $u^{3} = 2 i$ .

$z_{0} = 4.09112363 + 0.62996052 i$

$z_{1} = 1.90887636 + 0.62996052 i$

$z_{2} = 3 - 1.25992104 i$

إدخال مسألتك