حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{3} + x}{x^{3} - 1} d x$

خطوة 1

اقسِم $x^{3} + x$ على $x^{3} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x^{3}$ .

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$1$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} + 0 + 0 - 1$

								$1$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$1$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

								$1$
$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$x^{3}$	-	$0$	-	$0$	+	$1$
											+	$x$	+	$1$

خطوة 1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 1 + \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d x + \int \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + \int \frac{x + 1}{x^{3} - 1} d x$

خطوة 4

اكتب الكسر باستخدام التفكيك الكسري الجزئي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

حلّل الكسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$\frac{x + 1}{x^{3} - 1^{3}}$

خطوة 4.1.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

خطوة 4.1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1.3.1

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

خطوة 4.1.1.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

خطوة 4.1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

خطوة 4.1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل من الرتبة الثانية، يلزم وجود $2$ من الحدود في بسط الكسر. ودائمًا ما يكون عدد الحدود اللازم في بسط الكسر مساويًا لرتبة العامل في القاسم.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 4.1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 4.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 4.1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 4.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x + 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 4.1.6.2

اقسِم $x + 1$ على $1$ .

$x + 1 = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 4.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x + 1 = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 4.1.7.1.2

اقسِم $(A) (x^{2} + x + 1)$ على $1$ .

$x + 1 = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 4.1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 4.1.7.3

اضرب $A$ في $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 4.1.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 4.1.7.4.2

اقسِم $(B x + C) (x - 1)$ على $1$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

خطوة 4.1.7.5

وسّع $(B x + C) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

خطوة 4.1.7.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

خطوة 4.1.7.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

خطوة 4.1.7.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.6.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.7.6.1.1

انقُل $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

خطوة 4.1.7.6.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

خطوة 4.1.7.6.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $B x$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

خطوة 4.1.7.6.3

أعِد كتابة $- 1 (B x)$ بالصيغة $- (B x)$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

خطوة 4.1.7.6.4

انقُل $- 1$ إلى يسار $C$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

خطوة 4.1.7.6.5

أعِد كتابة $- 1 C$ بالصيغة $- C$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

خطوة 4.1.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.8.1

أعِد ترتيب $B$ و $x^{2}$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

خطوة 4.1.8.2

انقُل $B$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

خطوة 4.1.8.3

انقُل $A$ .

$x + 1 = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

خطوة 4.1.8.4

انقُل $A x$ .

$x + 1 = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

خطوة 4.2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x^{2}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 4.2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A - 1 B + C$

خطوة 4.2.3

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A - 1 C$

خطوة 4.2.4

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

$0 = A + B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

خطوة 4.3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد قيمة $A$ في $0 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

خطوة 4.3.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = - B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

$A = - B$

$1 = A - 1 B + C$

$1 = A - 1 C$

خطوة 4.3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $- B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $1 = A - 1 B + C$ بـ $- B$ .

$1 = (- B) - 1 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

خطوة 4.3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

بسّط $(- B) - 1 B + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1.1

أعِد كتابة $- 1 B$ بالصيغة $- B$ .

$1 = - B - B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

خطوة 4.3.2.2.1.2

اطرح $B$ من $- B$ .

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = A - 1 C$

خطوة 4.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $1 = A - 1 C$ بـ $- B$ .

$1 = (- B) - 1 C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

خطوة 4.3.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

أعِد كتابة $- 1 C$ بالصيغة $- C$ .

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

$1 = - B - C$

$1 = - 2 B + C$

$A = - B$

خطوة 4.3.3

أوجِد قيمة $C$ في $1 = - 2 B + C$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 2 B + C = 1$ .

$- 2 B + C = 1$

$1 = - B - C$

$A = - B$

خطوة 4.3.3.2

أضف $2 B$ إلى كلا المتعادلين.

$C = 1 + 2 B$

$1 = - B - C$

$A = - B$

$C = 1 + 2 B$

$1 = - B - C$

$A = - B$

خطوة 4.3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ بـ $1 + 2 B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ في $1 = - B - C$ بـ $1 + 2 B$ .

$1 = - B - (1 + 2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

خطوة 4.3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1

بسّط $- B - (1 + 2 B)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = - B - 1 \cdot 1 - (2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

خطوة 4.3.4.2.1.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 = - B - 1 - (2 B)$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

خطوة 4.3.4.2.1.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$1 = - B - 1 - 2 B$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - B - 1 - 2 B$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

خطوة 4.3.4.2.1.2

اطرح $2 B$ من $- B$ .

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 B - 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

خطوة 4.3.5

أوجِد قيمة $B$ في $1 = - 3 B - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- 3 B - 1 = 1$ .

$- 3 B - 1 = 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

خطوة 4.3.5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$- 3 B = 1 + 1$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

خطوة 4.3.5.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$- 3 B = 2$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$- 3 B = 2$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

خطوة 4.3.5.3

اقسِم كل حد في $- 3 B = 2$ على $- 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.3.1

اقسِم كل حد في $- 3 B = 2$ على $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

خطوة 4.3.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

خطوة 4.3.5.3.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = \frac{2}{- 3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

خطوة 4.3.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.3.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

$B = - \frac{2}{3}$

$C = 1 + 2 B$

$A = - B$

خطوة 4.3.6

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $- \frac{2}{3}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $C = 1 + 2 B$ بـ $- \frac{2}{3}$ .

$C = 1 + 2 (- \frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

خطوة 4.3.6.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.2.1

بسّط $1 + 2 (- \frac{2}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.2.1.1.1

اضرب $2 (- \frac{2}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.2.1.1.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$C = 1 - 2 (\frac{2}{3})$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

خطوة 4.3.6.2.1.1.1.2

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{3}$ .

$C = 1 + \frac{- 2 \cdot 2}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

خطوة 4.3.6.2.1.1.1.3

اضرب $- 2$ في $2$ .

$C = 1 + \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = 1 + \frac{- 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

خطوة 4.3.6.2.1.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$C = 1 - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = 1 - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

خطوة 4.3.6.2.1.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.2.1.2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$C = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

خطوة 4.3.6.2.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$C = \frac{3 - 4}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

خطوة 4.3.6.2.1.2.3

اطرح $4$ من $3$ .

$C = \frac{- 1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

خطوة 4.3.6.2.1.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - B$

خطوة 4.3.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = - B$ بـ $- \frac{2}{3}$ .

$A = - (- \frac{2}{3})$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

خطوة 4.3.6.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.4.1

اضرب $- (- \frac{2}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.6.4.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$A = 1 (\frac{2}{3})$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

خطوة 4.3.6.4.1.2

اضرب $\frac{2}{3}$ في $1$ .

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = \frac{2}{3}$

$C = - \frac{1}{3}$

$B = - \frac{2}{3}$

خطوة 4.3.7

اسرِد جميع الحلول.

$A = \frac{2}{3}, C = - \frac{1}{3}, B = - \frac{2}{3}$

خطوة 4.4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ و $C$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- \frac{2}{3 x} - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

اضرب $\frac{- \frac{2}{3} \cdot x - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3}{3} \cdot \frac{- \frac{2}{3} x - \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

خطوة 4.5.1.2

اجمع.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x - \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + x + 1)}$

خطوة 4.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (- \frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

خطوة 4.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{3}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (\frac{- 1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

خطوة 4.5.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) + 3 (\frac{- 1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

خطوة 4.5.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{2}{3} x) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

خطوة 4.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.4.1

اجمع $x$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (- \frac{x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

خطوة 4.5.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.4.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{x \cdot 2}{3}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{- x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

خطوة 4.5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{- x \cdot 2}{3}) - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

خطوة 4.5.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- x \cdot 2 - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

خطوة 4.5.4.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

خطوة 4.5.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.5.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.5.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 1}$

خطوة 4.5.5.1.2

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 \cdot 1}$

خطوة 4.5.5.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 \cdot 1$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 (1)}$

خطوة 4.5.5.1.4

أخرِج العامل $3$ من $3 (x^{2}) + 3 (x)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2} + x) + 3 (1)}$

خطوة 4.5.5.1.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (x^{2} + x) + 3 (1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 2 x - 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

خطوة 4.5.5.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x) - 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

خطوة 4.5.5.3

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x) - 1 \cdot 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

خطوة 4.5.5.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 1)}$

خطوة 4.5.5.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.5.5.1

أعِد كتابة $- (2 x + 1)$ بالصيغة $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} + \frac{- 1 (2 x + 1)}{3 (x^{2} + x + 1)}$

خطوة 4.5.5.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\frac{2}{3}}{x - 1} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

خطوة 4.5.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

خطوة 4.5.7

اضرب $\frac{2}{3}$ في $\frac{1}{x - 1}$ .

$x + C + \int \frac{2}{3 (x - 1)} - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$x + C + \int \frac{2}{3 (x - 1)} d x + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

خطوة 6

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{2}{3}$ خارج التكامل.

$x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u_{1} = x - 1$ . إذن $d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u_{1} = x - 1$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

خطوة 7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 7.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 7.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$x + C + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{u_{1}}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\ln (| u_{1} |)$ .

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

خطوة 10

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{3} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x)$

خطوة 11

لنفترض أن $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . إذن $d u_{2} = (2 x + 1) d x$ ، لذا $\frac{1}{2 x + 1} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

افترض أن $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

خطوة 11.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 11.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 11.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 11.1.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 1 + 0$

خطوة 11.1.6

أضف $2 x + 1$ و $0$ .

$2 x + 1$

خطوة 11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 12

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$x + C + \frac{2}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

خطوة 13

بسّط.

$x + \frac{2}{3} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 14

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x - 1$ .

$x + \frac{2}{3} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

خطوة 14.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2} + x + 1$ .

$x + \frac{2}{3} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{3} \ln (| x^{2} + x + 1 |) + C$

إدخال مسألتك