حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(\sin (y) + x) d x + (x \cos (y)) d y = 0$

خطوة 1

أوجِد $\frac{\partial M}{\partial y}$ حيث $M (x, y) = \sin (y) + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة $M$ بالنسبة إلى $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) + x]$

خطوة 1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (y) + x$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 1.3

مشتق $\sin (y)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + 0$

خطوة 1.4.2

أضف $\cos (y)$ و $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

خطوة 2

أوجِد $\frac{\partial N}{\partial x}$ حيث $N (x, y) = x \cos (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد مشتقة $N$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

خطوة 2.2

بما أن $\cos (y)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x \cos (y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1$

خطوة 2.4

اضرب $\cos (y)$ في $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

خطوة 3

تحقق من أن $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $\cos (y)$ عن $\frac{\partial M}{\partial y}$ وبـ $\cos (y)$ عن $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (y) = \cos (y)$

خطوة 3.2

بما أن الطرفين تبين أنهما متكافئان، إذن المعادلة تمثل متطابقة.

$\cos (y) = \cos (y)$ تمثل متطابقة.

خطوة 4

عيّن $f (x, y)$ لتساوي تكامل $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x \cos (y) d y$

خطوة 5

أوجِد التكامل لـ $N (x, y) = x \cos (y)$ لإيجاد $f (x, y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $x$ خارج التكامل.

$f (x, y) = x \int \cos (y) d y$

خطوة 5.2

تكامل $\cos (y)$ بالنسبة إلى $y$ هو $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x (\sin (y) + C)$

خطوة 5.3

بسّط.

$f (x, y) = x \sin (y) + C$

خطوة 6

بما أن تكامل $g (x)$ سيحتوي على ثابت التكامل، إذن يمكننا استبدال $C$ بـ $g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$

خطوة 7

عيّن $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sin (y) + x$

خطوة 8

أوجِد $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد مشتقة $f$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y) + g (x)] = \sin (y) + x$

خطوة 8.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x \sin (y) + g (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

خطوة 8.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بما أن $\sin (y)$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x \sin (y)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sin (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

خطوة 8.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

خطوة 8.3.3

اضرب $\sin (y)$ في $1$ .

$\sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

خطوة 8.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة التي تنص على أن مشتق $g (x)$ هو $\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) + \frac{d g}{d x} = \sin (y) + x$

خطوة 8.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = \sin (y) + x$

خطوة 9

أوجِد قيمة $\frac{d g}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $\frac{d g}{d x}$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

اطرح $\sin (y)$ من كلا المتعادلين.

$\frac{d g}{d x} = \sin (y) + x - \sin (y)$

خطوة 9.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $\sin (y) + x - \sin (y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اطرح $\sin (y)$ من $\sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

خطوة 9.1.2.2

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

خطوة 10

أوجِد المشتق العكسي لـ $x$ لإيجاد $g (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أوجِد تكامل كلا طرفي $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

خطوة 10.3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 11

عوّض عن $g (x)$ في $f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

خطوة 12

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C$

إدخال مسألتك