حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 y'' = y$ , $y = e^{r x}$

خطوة 1

أوجِد $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{r x})$

خطوة 1.2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 1.3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = r x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $r x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x]$

خطوة 1.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [r x]$

خطوة 1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $r x$ .

$e^{r x} \frac{d}{d x} [r x]$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بما أن $r$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $r x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $r \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{r x} (r \cdot 1)$

خطوة 1.3.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.3.1

اضرب $r$ في $1$ .

$e^{r x} r$

خطوة 1.3.2.3.2

أعِد ترتيب العوامل في $e^{r x} r$ .

$r e^{r x}$

خطوة 1.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = r e^{r x}$

خطوة 2

أوجِد $y''$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن المشتق.

$y'' = \frac{d}{d x} [r e^{r x}]$

خطوة 2.2

بما أن $r$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $r e^{r x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$ .

$y'' = r \frac{d}{d x} [e^{r x}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = r x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $r x$ .

$y'' = r (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [r x])$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$y'' = r (e^{u} \frac{d}{d x} [r x])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $r x$ .

$y'' = r (e^{r x} \frac{d}{d x} [r x])$

خطوة 2.4

بما أن $r$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $r x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $r \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = r (e^{r x} (r \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.5

ارفع $r$ إلى القوة $1$ .

$y'' = r^{1} r (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.6

ارفع $r$ إلى القوة $1$ .

$y'' = r^{1} r^{1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y'' = r^{1 + 1} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.8

أضف $1$ و $1$ .

$y'' = r^{2} (e^{r x} (\frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$y'' = r^{2} (e^{r x} \cdot 1)$

خطوة 2.10

اضرب $e^{r x}$ في $1$ .

$y'' = r^{2} e^{r x}$

خطوة 3

عوّض في المعادلة التفاضلية المُعطاة.

$4 (r^{2} e^{r x}) = y$

خطوة 4

عوّض بقيمة $e^{r x}$ التي تساوي $y$ .

$4 (r^{2} y) = y$

خطوة 5

أوجِد قيمة $r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $4 r^{2} y = y$ على $4 y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اقسِم كل حد في $4 r^{2} y = y$ على $4 y$ .

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

خطوة 5.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 r^{2} y}{4 y} = \frac{y}{4 y}$

خطوة 5.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

خطوة 5.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{r^{2} y}{y} = \frac{y}{4 y}$

خطوة 5.1.2.2.2

اقسِم $r^{2}$ على $1$ .

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

خطوة 5.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$r^{2} = \frac{y}{4 y}$

خطوة 5.1.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$r^{2} = \frac{1}{4}$

خطوة 5.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

خطوة 5.3

بسّط $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{1}{4}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

خطوة 5.3.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

خطوة 5.3.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$r = \pm \frac{1}{2}$

خطوة 5.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$r = \frac{1}{2}$

خطوة 5.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$r = - \frac{1}{2}$

خطوة 5.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$r = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

إدخال مسألتك