حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d y}{d x} = e^{- 11 x}$ , $(0, 13)$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة.

$d y = e^{- 11 x} d x$

خطوة 2

أوجِد تكامل كلا الطرفين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن التكامل في كل طرف.

$\int d y = \int e^{- 11 x} d x$

خطوة 2.2

طبّق قاعدة الثابت.

$y + C_{1} = \int e^{- 11 x} d x$

خطوة 2.3

أوجِد تكامل الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لنفترض أن $u = - 11 x$ . إذن $d u = - 11 d x$ ، لذا $- \frac{1}{11} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

افترض أن $u = - 11 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1.1

أوجِد مشتقة $- 11 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 11 x]$

خطوة 2.3.1.1.2

بما أن $- 11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 11 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 11 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 11 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.1.4

اضرب $- 11$ في $1$ .

$- 11$

خطوة 2.3.1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{- 11} d u$

خطوة 2.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y + C_{1} = \int e^{u} (- \frac{1}{11}) d u$

خطوة 2.3.2.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{11}$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{e^{u}}{11} d u$

خطوة 2.3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - \int \frac{e^{u}}{11} d u$

خطوة 2.3.4

بما أن $\frac{1}{11}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{11}$ خارج التكامل.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{11} \int e^{u} d u)$

خطوة 2.3.5

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{11} (e^{u} + C_{2})$

خطوة 2.3.6

بسّط.

$y + C_{1} = - \frac{1}{11} e^{u} + C_{2}$

خطوة 2.3.7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- 11 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + C_{2}$

خطوة 2.4

جمّع ثابت التكامل في الطرف الأيمن في صورة $K$ .

$y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + K$

خطوة 3

استخدِم الشرط الابتدائي لإيجاد قيمة $K$ بالتعويض بـ $0$ عن $x$ وبـ $13$ عن $y$ في $y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + K$ .

$13 = - \frac{1}{11} e^{- 11 \cdot 0} + K$

خطوة 4

أوجِد قيمة $K$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- \frac{1}{11} \cdot e^{- 11 \cdot 0} + K = 13$ .

$- \frac{1}{11} \cdot e^{- 11 \cdot 0} + K = 13$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $- 11$ في $0$ .

$- \frac{1}{11} \cdot e^{0} + K = 13$

خطوة 4.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- \frac{1}{11} \cdot 1 + K = 13$

خطوة 4.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{11} + K = 13$

خطوة 4.3

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $K$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $\frac{1}{11}$ إلى كلا المتعادلين.

$K = 13 + \frac{1}{11}$

خطوة 4.3.2

لكتابة $13$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{11}{11}$ .

$K = 13 \cdot \frac{11}{11} + \frac{1}{11}$

خطوة 4.3.3

اجمع $13$ و $\frac{11}{11}$ .

$K = \frac{13 \cdot 11}{11} + \frac{1}{11}$

خطوة 4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$K = \frac{13 \cdot 11 + 1}{11}$

خطوة 4.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

اضرب $13$ في $11$ .

$K = \frac{143 + 1}{11}$

خطوة 4.3.5.2

أضف $143$ و $1$ .

$K = \frac{144}{11}$

خطوة 5

عوّض بـ $\frac{144}{11}$ عن $K$ في $y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + K$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عوّض بقيمة $K$ التي تساوي $\frac{144}{11}$ .

$y = - \frac{1}{11} e^{- 11 x} + \frac{144}{11}$

خطوة 5.2

اجمع $e^{- 11 x}$ و $\frac{1}{11}$ .

$y = - \frac{e^{- 11 x}}{11} + \frac{144}{11}$

إدخال مسألتك