حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{\ln (x)}$

خطوة 1

افترض أن $y = f (x)$ ، خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{\ln (x)})$

خطوة 2

وسّع الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وسّع $\ln (x^{\ln (x)})$ بنقل $\ln (x)$ خارج اللوغاريتم.

$\ln (y) = \ln (x) \ln (x)$

خطوة 2.2

ارفع $\ln (x)$ إلى القوة $1$ .

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln (x)$

خطوة 2.3

ارفع $\ln (x)$ إلى القوة $1$ .

$\ln (y) = \ln^{1} (x) \ln^{1} (x)$

خطوة 2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\ln (y) = {\ln (x)}^{1 + 1}$

خطوة 2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\ln (y) = \ln^{2} (x)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة العبارة باستخدام قاعدة السلسلة، مع الأخذ في الاعتبار أن $y$ هو دالة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة الطرف الأيسر $\ln (y)$ باستخدام قاعدة السلسلة.

$\frac{y'}{y} = \ln^{2} (x)$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد مشتقة $\ln^{2} (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{y'}{y} = 2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.2.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) \frac{1}{x}$

خطوة 3.2.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $2$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} \ln (x)$

خطوة 3.2.4.2

اجمع $\frac{2}{x}$ و $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

خطوة 3.2.5

بسّط $2 \ln (x)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x^{2})}{x}$

خطوة 4

اعزِل $y'$ وعوّض بالدالة الأصلية عن $y$ في الطرف الأيمن.

$y' = \frac{\ln (x^{2})}{x} x^{\ln (x)}$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ و $x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}}{x}$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{\ln (x)}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $x$ من $\ln (x^{2}) x^{\ln (x)}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x}$

خطوة 5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}}$

خطوة 5.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

خطوة 5.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{x (\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1}$

خطوة 5.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}}{1}$

خطوة 5.2.2.5

اقسِم $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ على $1$ .

$y' = \ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$

خطوة 5.3

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (x^{2}) x^{\ln (x) - 1}$ .

$y' = x^{\ln (x) - 1} \ln (x^{2})$

إدخال مسألتك