حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 3 x - x^{2}$ , $y = x^{2}$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$3 x - x^{2} = x^{2}$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x - x^{2} = x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اطرح $x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$3 x - x^{2} - x^{2} = 0$

خطوة 1.2.1.2

اطرح $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$3 x - 2 x^{2} = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$3 u - 2 u^{2} = 0$

خطوة 1.2.2.2

أخرِج العامل $u$ من $3 u - 2 u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

أخرِج العامل $u$ من $3 u$ .

$u \cdot 3 - 2 u^{2} = 0$

خطوة 1.2.2.2.2

أخرِج العامل $u$ من $- 2 u^{2}$ .

$u \cdot 3 + u (- 2 u) = 0$

خطوة 1.2.2.2.3

أخرِج العامل $u$ من $u \cdot 3 + u (- 2 u)$ .

$u (3 - 2 u) = 0$

خطوة 1.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$x (3 - 2 x) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$3 - 2 x = 0 + y = x^{2}$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $3 - 2 x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $3 - 2 x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 - 2 x = 0$

خطوة 1.2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 - 2 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- 2 x = - 3$

خطوة 1.2.5.2.2

اقسِم كل حد في $- 2 x = - 3$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 x = - 3$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

خطوة 1.2.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

خطوة 1.2.5.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 2}$

خطوة 1.2.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$x = \frac{3}{2}$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (3 - 2 x) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \frac{3}{2}$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = {(0)}^{2}$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $0$ عن $x$ في $y = {(0)}^{2}$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 0^{2}$

خطوة 1.3.2.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 0$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = \frac{3}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{3}{2}$ .

$y = {(\frac{3}{2})}^{2}$

خطوة 1.4.2

بسّط ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3^{2}}{2^{2}}$

خطوة 1.4.2.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{9}{2^{2}}$

خطوة 1.4.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{9}{4}$

خطوة 1.5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 0)$

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$

$(0, 0)$

$(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$

خطوة 2

أعِد ترتيب $3 x$ و $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 3 x$

خطوة 3

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{3}{2}} - x^{2} + 3 x d x - \int_{0}^{\frac{3}{2}} x^{2} d x$

خطوة 4

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $\frac{3}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} - x^{2} + 3 x - (x^{2}) d x$

خطوة 4.2

اطرح $x^{2}$ من $- x^{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} - 2 x^{2} + 3 x d x$

خطوة 4.3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

خطوة 4.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 2$ خارج التكامل.

$- 2 \int_{0}^{\frac{3}{2}} x^{2} d x + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

خطوة 4.5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

خطوة 4.6

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

خطوة 4.7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + 3 \int_{0}^{\frac{3}{2}} x d x$

خطوة 4.8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 4.9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 4.9.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.1

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $\frac{3}{2}$ وفي $0$ .

$- 2 ((\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 4.9.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $\frac{3}{2}$ وفي $0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.2.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - 0) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 0) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.4

أضف $\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3}$ و $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 4.9.2.3.5

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

خطوة 4.9.2.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.6.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

خطوة 4.9.2.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.2.3.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 4.9.2.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 4.9.2.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

خطوة 4.9.2.3.6.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 0)$

خطوة 4.9.2.3.7

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} + 0)$

خطوة 4.9.2.3.8

أضف $\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$ و $0$ .

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$- 2 \frac{\frac{3^{3}}{2^{3}}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.9.3.1.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$- 2 \frac{\frac{27}{2^{3}}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.9.3.1.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- 2 \frac{\frac{27}{8}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.9.3.1.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- 2 (\frac{27}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.9.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$- 2 (\frac{3 (9)}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.9.3.1.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 2 (\frac{3 \cdot 9}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.9.3.1.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 2 (\frac{9}{8}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.9.3.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{9}{8} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.9.3.1.4.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$2 \cdot - 1 \frac{9}{2 \cdot 4} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.9.3.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{9}{2 \cdot 4} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.9.3.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 4.9.3.1.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.1.5.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}}}{2}$

خطوة 4.9.3.1.5.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{\frac{9}{2^{2}}}{2}$

خطوة 4.9.3.1.5.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{\frac{9}{4}}{2}$

خطوة 4.9.3.1.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 4.9.3.1.7

اضرب $\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.1.7.1

اضرب $\frac{9}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{9}{4 \cdot 2}$

خطوة 4.9.3.1.7.2

اضرب $4$ في $2$ .

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{8})$

خطوة 4.9.3.1.8

اضرب $3 (\frac{9}{8})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.1.8.1

اجمع $3$ و $\frac{9}{8}$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{3 \cdot 9}{8}$

خطوة 4.9.3.1.8.2

اضرب $3$ في $9$ .

$- \frac{9}{4} + \frac{27}{8}$

خطوة 4.9.3.2

لكتابة $- \frac{9}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{8}$

خطوة 4.9.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $8$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.3.1

اضرب $\frac{9}{4}$ في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{27}{8}$

خطوة 4.9.3.3.2

اضرب $4$ في $2$ .

$- \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{27}{8}$

خطوة 4.9.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 9 \cdot 2 + 27}{8}$

خطوة 4.9.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.3.5.1

اضرب $- 9$ في $2$ .

$\frac{- 18 + 27}{8}$

خطوة 4.9.3.5.2

أضف $- 18$ و $27$ .

$\frac{9}{8}$

خطوة 5

إدخال مسألتك