الجبر أمثلة

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 1 \end{array}]$

أنشئ مصفوفة مجزئة إلى قطعتين متساوتين الحجم. على الجانب الأيسر، املأ بعناصر المصفوفة الأصلية. على الجانب الأيمن، املأ بعناصر المصفوفة المطابقة. من أجل العثور على معكوس المصفوفة، استخدم عمليات على الصفوف لتحويل الطرف الأيسر إلى مصفوفة المطابقة. بعد الانتهاء من ذلك، يكون معكوس المصفوفة الأصلية على الجانب الأيمن من المصفوفة المزدوجة.

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

نفذ العمليات على السطور $R_{1} = \frac{1}{4} R_{1}$ على $R_{1}$ (السطر $1$ ) لتحويل بعض حدود السطر ل $1$ .

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

استبدل $R_{1}$ (السطر $1$ ) مع العملية على السطر $R_{1} = \frac{1}{4} R_{1}$ لتحويل بعض العناصر في السطر إلى القيمة $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} R_{1} & \frac{1}{4} R_{1} & \frac{1}{4} R_{1} & \frac{1}{4} R_{1} & \frac{1}{4} R_{1} & \frac{1}{4} R_{1} \\ 1 & 4 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{4} R_{1}$

استبدل $R_{1}$ (السطر $1$ ) بالقيم الحقيقية للعناصر للعملية على السطر $R_{1} = \frac{1}{4} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{4}) \cdot (4) & (\frac{1}{4}) \cdot (1) & (\frac{1}{4}) \cdot (3) & (\frac{1}{4}) \cdot (1) & (\frac{1}{4}) \cdot (0) & (\frac{1}{4}) \cdot (0) \\ 1 & 4 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{4} R_{1}$

بسّط $R_{1}$ (السطر $1$ )

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 4 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

نفذ العمليات على السطور $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ على $R_{2}$ (السطر $2$ ) لتحويل بعض حدود السطر ل $0$ .

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

استبدل $R_{2}$ (السطر $2$ ) مع العملية على السطر $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ لتحويل بعض العناصر في السطر إلى القيمة $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 4 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$

استبدل $R_{2}$ (السطر $2$ ) بالقيم الحقيقية للعناصر للعملية على السطر $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (\frac{1}{4}) + 4 & (- 1) \cdot (\frac{3}{4}) + 4 & (- 1) \cdot (\frac{1}{4}) + 0 & (- 1) \cdot (0) + 1 & (- 1) \cdot (0) + 0 \\ 4 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$

بسّط $R_{2}$ (السطر $2$ )

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{15}{4} & \frac{13}{4} & - \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

نفذ العمليات على السطور $R_{3} = - 4 \cdot R_{1} + R_{3}$ على $R_{3}$ (السطر $3$ ) لتحويل بعض حدود السطر ل $0$ .

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

استبدل $R_{3}$ (السطر $3$ ) مع العملية على السطر $R_{3} = - 4 \cdot R_{1} + R_{3}$ لتحويل بعض العناصر في السطر إلى القيمة $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{15}{4} & \frac{13}{4} & - \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ - 4 \cdot R_{1} + R_{3} & - 4 \cdot R_{1} + R_{3} & - 4 \cdot R_{1} + R_{3} & - 4 \cdot R_{1} + R_{3} & - 4 \cdot R_{1} + R_{3} & - 4 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 4 \cdot R_{1} + R_{3}$

استبدل $R_{3}$ (السطر $3$ ) بالقيم الحقيقية للعناصر للعملية على السطر $R_{3} = - 4 \cdot R_{1} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{15}{4} & \frac{13}{4} & - \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ (- 4) \cdot (1) + 4 & (- 4) \cdot (\frac{1}{4}) + 4 & (- 4) \cdot (\frac{3}{4}) + 1 & (- 4) \cdot (\frac{1}{4}) + 0 & (- 4) \cdot (0) + 0 & (- 4) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - 4 \cdot R_{1} + R_{3}$

بسّط $R_{3}$ (السطر $3$ )

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{15}{4} & \frac{13}{4} & - \frac{1}{4} & 1 & 0 \\ 0 & 3 & - 2 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

نفذ العمليات على السطور $R_{2} = \frac{4}{15} R_{2}$ على $R_{2}$ (السطر $2$ ) لتحويل بعض حدود السطر ل $1$ .

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

استبدل $R_{2}$ (السطر $2$ ) مع العملية على السطر $R_{2} = \frac{4}{15} R_{2}$ لتحويل بعض العناصر في السطر إلى القيمة $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ \frac{4}{15} R_{2} & \frac{4}{15} R_{2} & \frac{4}{15} R_{2} & \frac{4}{15} R_{2} & \frac{4}{15} R_{2} & \frac{4}{15} R_{2} \\ 0 & 3 & - 2 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{4}{15} R_{2}$

استبدل $R_{2}$ (السطر $2$ ) بالقيم الحقيقية للعناصر للعملية على السطر $R_{2} = \frac{4}{15} R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ (\frac{4}{15}) \cdot (0) & (\frac{4}{15}) \cdot (\frac{15}{4}) & (\frac{4}{15}) \cdot (\frac{13}{4}) & (\frac{4}{15}) \cdot (- \frac{1}{4}) & (\frac{4}{15}) \cdot (1) & (\frac{4}{15}) \cdot (0) \\ 0 & 3 & - 2 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{4}{15} R_{2}$

بسّط $R_{2}$ (السطر $2$ )

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{13}{15} & - \frac{1}{15} & \frac{4}{15} & 0 \\ 0 & 3 & - 2 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

نفذ العمليات على السطور $R_{1} = - \frac{1}{4} R_{2} + R_{1}$ على $R_{1}$ (السطر $1$ ) لتحويل بعض حدود السطر ل $0$ .

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

استبدل $R_{1}$ (السطر $1$ ) مع العملية على السطر $R_{1} = - \frac{1}{4} R_{2} + R_{1}$ لتحويل بعض العناصر في السطر إلى القيمة $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{4} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{4} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{4} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{4} R_{2} + R_{1} & - \frac{1}{4} R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{13}{15} & - \frac{1}{15} & \frac{4}{15} & 0 \\ 0 & 3 & - 2 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{4} R_{2} + R_{1}$

استبدل $R_{1}$ (السطر $1$ ) بالقيم الحقيقية للعناصر للعملية على السطر $R_{1} = - \frac{1}{4} R_{2} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{4}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{1}{4}) \cdot (1) + \frac{1}{4} & (- \frac{1}{4}) \cdot (\frac{13}{15}) + \frac{3}{4} & (- \frac{1}{4}) \cdot (- \frac{1}{15}) + \frac{1}{4} & (- \frac{1}{4}) \cdot (\frac{4}{15}) + 0 & (- \frac{1}{4}) \cdot (0) + 0 \\ 0 & 1 & \frac{13}{15} & - \frac{1}{15} & \frac{4}{15} & 0 \\ 0 & 3 & - 2 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{4} R_{2} + R_{1}$

بسّط $R_{1}$ (السطر $1$ )

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{15} & \frac{4}{15} & - \frac{1}{15} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{13}{15} & - \frac{1}{15} & \frac{4}{15} & 0 \\ 0 & 3 & - 2 & - 1 & 0 & 1 \end{array}]$

نفذ العمليات على السطور $R_{3} = - 3 \cdot R_{2} + R_{3}$ على $R_{3}$ (السطر $3$ ) لتحويل بعض حدود السطر ل $0$ .

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

استبدل $R_{3}$ (السطر $3$ ) مع العملية على السطر $R_{3} = - 3 \cdot R_{2} + R_{3}$ لتحويل بعض العناصر في السطر إلى القيمة $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{15} & \frac{4}{15} & - \frac{1}{15} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{13}{15} & - \frac{1}{15} & \frac{4}{15} & 0 \\ - 3 \cdot R_{2} + R_{3} & - 3 \cdot R_{2} + R_{3} & - 3 \cdot R_{2} + R_{3} & - 3 \cdot R_{2} + R_{3} & - 3 \cdot R_{2} + R_{3} & - 3 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 3 \cdot R_{2} + R_{3}$

استبدل $R_{3}$ (السطر $3$ ) بالقيم الحقيقية للعناصر للعملية على السطر $R_{3} = - 3 \cdot R_{2} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{15} & \frac{4}{15} & - \frac{1}{15} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{13}{15} & - \frac{1}{15} & \frac{4}{15} & 0 \\ (- 3) \cdot (0) + 0 & (- 3) \cdot (1) + 3 & (- 3) \cdot (\frac{13}{15}) - 2 & (- 3) \cdot (- \frac{1}{15}) - 1 & (- 3) \cdot (\frac{4}{15}) + 0 & (- 3) \cdot (0) + 1 \end{array}]$

$R_{3} = - 3 \cdot R_{2} + R_{3}$

بسّط $R_{3}$ (السطر $3$ )

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{15} & \frac{4}{15} & - \frac{1}{15} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{13}{15} & - \frac{1}{15} & \frac{4}{15} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{23}{5} & - \frac{4}{5} & - \frac{4}{5} & 1 \end{array}]$

نفذ العمليات على السطور $R_{3} = - \frac{5}{23} R_{3}$ على $R_{3}$ (السطر $3$ ) لتحويل بعض حدود السطر ل $1$ .

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

استبدل $R_{3}$ (السطر $3$ ) مع العملية على السطر $R_{3} = - \frac{5}{23} R_{3}$ لتحويل بعض العناصر في السطر إلى القيمة $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{15} & \frac{4}{15} & - \frac{1}{15} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{13}{15} & - \frac{1}{15} & \frac{4}{15} & 0 \\ - \frac{5}{23} R_{3} & - \frac{5}{23} R_{3} & - \frac{5}{23} R_{3} & - \frac{5}{23} R_{3} & - \frac{5}{23} R_{3} & - \frac{5}{23} R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{5}{23} R_{3}$

استبدل $R_{3}$ (السطر $3$ ) بالقيم الحقيقية للعناصر للعملية على السطر $R_{3} = - \frac{5}{23} R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{15} & \frac{4}{15} & - \frac{1}{15} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{13}{15} & - \frac{1}{15} & \frac{4}{15} & 0 \\ (- \frac{5}{23}) \cdot (0) & (- \frac{5}{23}) \cdot (0) & (- \frac{5}{23}) \cdot (- \frac{23}{5}) & (- \frac{5}{23}) \cdot (- \frac{4}{5}) & (- \frac{5}{23}) \cdot (- \frac{4}{5}) & (- \frac{5}{23}) \cdot (1) \end{array}]$

$R_{3} = - \frac{5}{23} R_{3}$

بسّط $R_{3}$ (السطر $3$ )

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & \frac{8}{15} & \frac{4}{15} & - \frac{1}{15} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{13}{15} & - \frac{1}{15} & \frac{4}{15} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{4}{23} & \frac{4}{23} & - \frac{5}{23} \end{array}]$

نفذ العمليات على السطور $R_{1} = - \frac{8}{15} R_{3} + R_{1}$ على $R_{1}$ (السطر $1$ ) لتحويل بعض حدود السطر ل $0$ .

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

استبدل $R_{1}$ (السطر $1$ ) مع العملية على السطر $R_{1} = - \frac{8}{15} R_{3} + R_{1}$ لتحويل بعض العناصر في السطر إلى القيمة $0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{8}{15} R_{3} + R_{1} & - \frac{8}{15} R_{3} + R_{1} & - \frac{8}{15} R_{3} + R_{1} & - \frac{8}{15} R_{3} + R_{1} & - \frac{8}{15} R_{3} + R_{1} & - \frac{8}{15} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{13}{15} & - \frac{1}{15} & \frac{4}{15} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{4}{23} & \frac{4}{23} & - \frac{5}{23} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{8}{15} R_{3} + R_{1}$

استبدل $R_{1}$ (السطر $1$ ) بالقيم الحقيقية للعناصر للعملية على السطر $R_{1} = - \frac{8}{15} R_{3} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{8}{15}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{8}{15}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{8}{15}) \cdot (1) + \frac{8}{15} & (- \frac{8}{15}) \cdot (\frac{4}{23}) + \frac{4}{15} & (- \frac{8}{15}) \cdot (\frac{4}{23}) - \frac{1}{15} & (- \frac{8}{15}) \cdot (- \frac{5}{23}) + 0 \\ 0 & 1 & \frac{13}{15} & - \frac{1}{15} & \frac{4}{15} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{4}{23} & \frac{4}{23} & - \frac{5}{23} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{8}{15} R_{3} + R_{1}$

بسّط $R_{1}$ (السطر $1$ )

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{4}{23} & - \frac{11}{69} & \frac{8}{69} \\ 0 & 1 & \frac{13}{15} & - \frac{1}{15} & \frac{4}{15} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{4}{23} & \frac{4}{23} & - \frac{5}{23} \end{array}]$

نفذ العمليات على السطور $R_{2} = - \frac{13}{15} R_{3} + R_{2}$ على $R_{2}$ (السطر $2$ ) لتحويل بعض حدود السطر ل $0$ .

اقرع من أجل التفاصيل الأدق...

استبدل $R_{2}$ (السطر $2$ ) مع العملية على السطر $R_{2} = - \frac{13}{15} R_{3} + R_{2}$ لتحويل بعض العناصر في السطر إلى القيمة $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{4}{23} & - \frac{11}{69} & \frac{8}{69} \\ - \frac{13}{15} R_{3} + R_{2} & - \frac{13}{15} R_{3} + R_{2} & - \frac{13}{15} R_{3} + R_{2} & - \frac{13}{15} R_{3} + R_{2} & - \frac{13}{15} R_{3} + R_{2} & - \frac{13}{15} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{4}{23} & \frac{4}{23} & - \frac{5}{23} \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{13}{15} R_{3} + R_{2}$

استبدل $R_{2}$ (السطر $2$ ) بالقيم الحقيقية للعناصر للعملية على السطر $R_{2} = - \frac{13}{15} R_{3} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{4}{23} & - \frac{11}{69} & \frac{8}{69} \\ (- \frac{13}{15}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{13}{15}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{13}{15}) \cdot (1) + \frac{13}{15} & (- \frac{13}{15}) \cdot (\frac{4}{23}) - \frac{1}{15} & (- \frac{13}{15}) \cdot (\frac{4}{23}) + \frac{4}{15} & (- \frac{13}{15}) \cdot (- \frac{5}{23}) + 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{4}{23} & \frac{4}{23} & - \frac{5}{23} \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{13}{15} R_{3} + R_{2}$

بسّط $R_{2}$ (السطر $2$ )

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{4}{23} & - \frac{11}{69} & \frac{8}{69} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{23} & \frac{8}{69} & \frac{13}{69} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{4}{23} & \frac{4}{23} & - \frac{5}{23} \end{array}]$

الطرف الأيمن للمصفوفة المضاعفة الآن هو معكوس المصفوفة الأصلية.

$[\begin{array}{c} \frac{4}{23} & - \frac{11}{69} & \frac{8}{69} \\ - \frac{5}{23} & \frac{8}{69} & \frac{13}{69} \\ \frac{4}{23} & \frac{4}{23} & - \frac{5}{23} \end{array}]$

أدخل مسألتك