示例

$| 3 x | - x^{2} = 1$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $x^{2}$ 。

$| 3 x | = 1 + x^{2}$

解题步骤 2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$3 x = \pm (1 + x^{2})$

解题步骤 3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$3 x = 1 + x^{2}$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$3 x - x^{2} = 1$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$3 x - x^{2} - 1 = 0$

解题步骤 3.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.5

将 $a = - 1$ 、 $b = 3$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.6.1.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.6.1.3

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

解题步骤 3.6.3

化简 $\frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.7.1

化简分子。

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解题步骤 3.7.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.7.1.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.7.1.3

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.7.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

解题步骤 3.7.3

化简 $\frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.7.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.8.1

化简分子。

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解题步骤 3.8.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.8.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.8.1.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.8.1.3

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

解题步骤 3.8.3

化简 $\frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.8.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.9

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.10

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$3 x = - (1 + x^{2})$

解题步骤 3.11

化简 $- (1 + x^{2})$ 。

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解题步骤 3.11.1

运用分配律。

$3 x = - 1 \cdot 1 - x^{2}$

解题步骤 3.11.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 x = - 1 - x^{2}$

解题步骤 3.12

在等式两边都加上 $x^{2}$ 。

$3 x + x^{2} = - 1$

解题步骤 3.13

在等式两边都加上 $1$ 。

$3 x + x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 3.14

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.15

将 $a = 1$ 、 $b = 3$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.16

化简。

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解题步骤 3.16.1

化简分子。

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解题步骤 3.16.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.16.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 3.16.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.16.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.16.1.3

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.16.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.17

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.17.1

化简分子。

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解题步骤 3.17.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.17.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 3.17.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.17.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.17.1.3

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.17.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.17.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 3 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.17.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.17.5

从 $\sqrt{5}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 3.17.6

从 $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{5})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 3.17.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.18

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.18.1

化简分子。

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解题步骤 3.18.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.18.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 3.18.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.18.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.18.1.3

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.18.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.18.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 3 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.18.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.18.5

从 $- \sqrt{5}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{5})}{2}$

解题步骤 3.18.6

从 $- 1 (3) - (\sqrt{5})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{5})}{2}$

解题步骤 3.18.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.19

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.20

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

小数形式：

$x = 2.61803398 \dots, 0.38196601 \dots, - 0.38196601 \dots, - 2.61803398 \dots$

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