三角学示例

$(\cos^{2} (x) - 1) (\tan^{2} (x) - 1)$

解题步骤 1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 1.1

将 $\cos^{2} (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$(- 1 + \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

解题步骤 1.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$(- 1 (1) + \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

解题步骤 1.3

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$(- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))) (\tan^{2} (x) - 1)$

解题步骤 1.4

从 $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

解题步骤 1.5

将 $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 。

$- (1 - \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) - 1)$

解题步骤 2

使用勾股恒等式。

$- \sin^{2} (x) (\tan^{2} (x) - 1)$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \sin^{2} (x) ({(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 1)$

解题步骤 3.1.2

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$- \sin^{2} (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 1)$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$- \sin^{2} (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

解题步骤 4

乘以 $- \sin^{2} (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 和 $\sin^{2} (x)$ 。

$- \frac{\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

解题步骤 4.2

通过指数相加将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{{\sin (x)}^{2 + 2}}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

解题步骤 4.2.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} - \sin^{2} (x) \cdot - 1$

解题步骤 5

乘以 $- \sin^{2} (x) \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1 \sin^{2} (x)$

解题步骤 5.2

将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin^{2} (x)$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 重写为 ${(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$ 。

$- {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2} + \sin^{2} (x)$

解题步骤 6.2

将 $- {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$ 和 $\sin^{2} (x)$ 重新排序。

$\sin^{2} (x) - {(\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})}^{2}$

解题步骤 7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \sin (x)$ 和 $b = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ 。

$(\sin (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 8

化简项。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$(\sin (x) + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 8.1.2

分离分数。

$(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 8.1.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$(\sin (x) + \frac{\sin (x)}{1} \tan (x)) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 8.1.4

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 8.2

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)})$

解题步骤 8.2.2

分离分数。

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}))$

解题步骤 8.2.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - (\frac{\sin (x)}{1} \tan (x)))$

解题步骤 8.2.4

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$

解题步骤 9

使用 FOIL 方法展开 $(\sin (x) + \sin (x) \tan (x)) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$ 。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$\sin (x) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) (\sin (x) - \sin (x) \tan (x))$

解题步骤 9.3

运用分配律。

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

解题步骤 10

化简项。

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解题步骤 10.1

合并 $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x) \tan (x)) + \sin (x) \tan (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$ 中相反的项。

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解题步骤 10.1.1

按照 $\sin (x) (- \sin (x) \tan (x))$ 和 $\sin (x) \tan (x) \sin (x)$ 重新排列因数。

$\sin (x) \sin (x) - \sin (x) \sin (x) \tan (x) + \sin (x) \sin (x) \tan (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

解题步骤 10.1.2

将 $- \sin (x) \sin (x) \tan (x)$ 和 $\sin (x) \sin (x) \tan (x)$ 相加。

$\sin (x) \sin (x) + 0 + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

解题步骤 10.1.3

将 $\sin (x) \sin (x)$ 和 $0$ 相加。

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

解题步骤 10.2

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1

乘以 $\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 10.2.1.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

解题步骤 10.2.1.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

解题步骤 10.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

解题步骤 10.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \tan (x) (- \sin (x) \tan (x))$

解题步骤 10.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\sin^{2} (x) - \sin (x) \tan (x) \sin (x) \tan (x)$

解题步骤 10.2.3

乘以 $- \sin (x) \tan (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 10.2.3.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) \tan (x) \tan (x)$

解题步骤 10.2.3.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \tan (x) \tan (x)$

解题步骤 10.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} \tan (x) \tan (x)$

解题步骤 10.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$

解题步骤 10.2.4

乘以 $- \sin^{2} (x) \tan (x) \tan (x)$ 。

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解题步骤 10.2.4.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan (x))$

解题步骤 10.2.4.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

解题步骤 10.2.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 10.2.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \tan^{2} (x)$

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