三角学示例

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = & 4 \\ c = \\ a = \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 75 \\ B = & 20 \\ C = \end{matrix} \end{matrix}$

解题步骤 1

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 2

将已知值代入正弦定理以求 $a$ 。

$\frac{\sin (75)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

解题步骤 3

求解 $a$ 的方程。

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解题步骤 3.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 3.1.1

$\sin (75)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{\sin (30 + 45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

解题步骤 3.1.1.2

使用两角和公式。

$\frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

解题步骤 3.1.1.3

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

解题步骤 3.1.1.4

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

解题步骤 3.1.1.5

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

解题步骤 3.1.1.6

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

解题步骤 3.1.1.7

化简 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.7.1.1

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.1.7.1.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

解题步骤 3.1.1.7.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

解题步骤 3.1.1.7.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.1.7.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

解题步骤 3.1.1.7.1.2.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

解题步骤 3.1.1.7.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

解题步骤 3.1.1.7.1.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

解题步骤 3.1.1.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

解题步骤 3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{a} = \frac{\sin (20)}{4}$

解题步骤 3.1.3

将 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 乘以 $\frac{1}{a}$ 。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = \frac{\sin (20)}{4}$

解题步骤 3.1.4

计算 $\sin (20)$ 。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = \frac{0.34202014}{4}$

解题步骤 3.1.5

用 $0.34202014$ 除以 $4$ 。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = 0.08550503$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$4 a, 1$

解题步骤 3.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$4 a$

解题步骤 3.3

将 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = 0.08550503$ 中的每一项乘以 $4 a$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} = 0.08550503$ 中的每一项乘以 $4 a$ 。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} (4 a) = 0.08550503 (4 a)$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} a = 0.08550503 (4 a)$

解题步骤 3.3.2.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1

从 $4 a$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 (a)} a = 0.08550503 (4 a)$

解题步骤 3.3.2.2.2

约去公因数。

$4 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 a} a = 0.08550503 (4 a)$

解题步骤 3.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{a} a = 0.08550503 (4 a)$

解题步骤 3.3.2.3

约去 $a$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{a} a = 0.08550503 (4 a)$

解题步骤 3.3.2.3.2

重写表达式。

$\sqrt{2} + \sqrt{6} = 0.08550503 (4 a)$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $4$ 乘以 $0.08550503$ 。

$\sqrt{2} + \sqrt{6} = 0.34202014 a$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ 。

$0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$

解题步骤 3.4.2

将 $0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ 中的每一项除以 $0.34202014$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $0.34202014 a = \sqrt{2} + \sqrt{6}$ 中的每一项都除以 $0.34202014$ 。

$\frac{0.34202014 a}{0.34202014} = \frac{\sqrt{2}}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $0.34202014$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.34202014 a}{0.34202014} = \frac{\sqrt{2}}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $a$ 除以 $1$ 。

$a = \frac{\sqrt{2}}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.3.1.1

计算根。

$a = \frac{1.41421356}{0.34202014} + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

解题步骤 3.4.2.3.1.2

用 $1.41421356$ 除以 $0.34202014$ 。

$a = 4.13488383 + \frac{\sqrt{6}}{0.34202014}$

解题步骤 3.4.2.3.1.3

计算根。

$a = 4.13488383 + \frac{2.44948974}{0.34202014}$

解题步骤 3.4.2.3.1.4

用 $2.44948974$ 除以 $0.34202014$ 。

$a = 4.13488383 + 7.16182888$

解题步骤 3.4.2.3.2

将 $4.13488383$ 和 $7.16182888$ 相加。

$a = 11.29671272$

解题步骤 4

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$75 + C + 20 = 180$

解题步骤 5

求解 $C$ 的方程。

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解题步骤 5.1

将 $75$ 和 $20$ 相加。

$C + 95 = 180$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $95$ 。

$C = 180 - 95$

解题步骤 5.2.2

从 $180$ 中减去 $95$ 。

$C = 85$

解题步骤 6

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 7

将已知值代入正弦定理以求 $c$ 。

$\frac{\sin (85)}{c} = \frac{\sin (75)}{11.29671272}$

解题步骤 8

求解 $c$ 的方程。

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解题步骤 8.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 8.1.1

计算 $\sin (85)$ 。

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (75)}{11.29671272}$

解题步骤 8.1.2

$\sin (75)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

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解题步骤 8.1.2.1

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (30 + 45)}{11.29671272}$

解题步骤 8.1.2.2

使用两角和公式。

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{11.29671272}$

解题步骤 8.1.2.3

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{11.29671272}$

解题步骤 8.1.2.4

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{11.29671272}$

解题步骤 8.1.2.5

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{11.29671272}$

解题步骤 8.1.2.6

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{11.29671272}$

解题步骤 8.1.2.7

化简 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 8.1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.2.7.1.1

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 8.1.2.7.1.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{11.29671272}$

解题步骤 8.1.2.7.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{11.29671272}$

解题步骤 8.1.2.7.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 8.1.2.7.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{11.29671272}$

解题步骤 8.1.2.7.1.2.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{11.29671272}$

解题步骤 8.1.2.7.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{11.29671272}$

解题步骤 8.1.2.7.1.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{11.29671272}$

解题步骤 8.1.2.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{11.29671272}$

解题步骤 8.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{11.29671272}$

解题步骤 8.1.4

用 $1$ 除以 $11.29671272$ 。

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.08852132$

解题步骤 8.1.5

乘以 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.08852132$ 。

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解题步骤 8.1.5.1

组合 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 和 $0.08852132$ 。

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot 0.08852132}{4}$

解题步骤 8.1.5.2

将 $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ 乘以 $0.08852132$ 。

$\frac{0.99619469}{c} = \frac{0.34202014}{4}$

解题步骤 8.1.6

用 $0.34202014$ 除以 $4$ 。

$\frac{0.99619469}{c} = 0.08550503$

解题步骤 8.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 8.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$c, 1$

解题步骤 8.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$c$

解题步骤 8.3

将 $\frac{0.99619469}{c} = 0.08550503$ 中的每一项乘以 $c$ 以消去分数。

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解题步骤 8.3.1

将 $\frac{0.99619469}{c} = 0.08550503$ 中的每一项乘以 $c$ 。

$\frac{0.99619469}{c} c = 0.08550503 c$

解题步骤 8.3.2

化简左边。

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解题步骤 8.3.2.1

约去 $c$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.99619469}{c} c = 0.08550503 c$

解题步骤 8.3.2.1.2

重写表达式。

$0.99619469 = 0.08550503 c$

解题步骤 8.4

求解方程。

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解题步骤 8.4.1

将方程重写为 $0.08550503 c = 0.99619469$ 。

$0.08550503 c = 0.99619469$

解题步骤 8.4.2

将 $0.08550503 c = 0.99619469$ 中的每一项除以 $0.08550503$ 并化简。

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解题步骤 8.4.2.1

将 $0.08550503 c = 0.99619469$ 中的每一项都除以 $0.08550503$ 。

$\frac{0.08550503 c}{0.08550503} = \frac{0.99619469}{0.08550503}$

解题步骤 8.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.4.2.2.1

约去 $0.08550503$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.08550503 c}{0.08550503} = \frac{0.99619469}{0.08550503}$

解题步骤 8.4.2.2.1.2

用 $c$ 除以 $1$ 。

$c = \frac{0.99619469}{0.08550503}$

解题步骤 8.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.4.2.3.1

用 $0.99619469$ 除以 $0.08550503$ 。

$c = 11.65071376$

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