三角学示例

${(z - 3)}^{3} = 2 i$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $z - 3$ 。

$u^{3} = 2 i$

解题步骤 2

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 3

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 4

代入 $a = 0$ 和 $b = 2$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 2$

解题步骤 6

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

解题步骤 7

因为自变量无定义且 $b$ 为正数，所以复平面上该点的角度为 $\frac{π}{2}$ 。

$θ = \frac{π}{2}$

解题步骤 8

代入 $θ = \frac{π}{2}$ 和 $| z | = 2$ 的值。

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 9

使用三角函数替换等式的右边。

$u^{3} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 10

使用棣莫弗定理求 $u$ 方程。

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = 2 i = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 11

使三角形式的模数等于 $r^{3}$ ，求 $r$ 的值。

$r^{3} = 2$

解题步骤 12

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \sqrt[3]{2}$

解题步骤 13

求 $r$ 的近似值。

$r = 1.25992104$

解题步骤 14

求 $θ$ 的可能值。

$c o s (3 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ 和 $s i n (3 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

解题步骤 15

求使方程 $3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ 成立的 $θ$ 的所有可能取值。

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

解题步骤 16

求满足 $r = 0$ 的 $θ$ 的值。

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

解题步骤 17

求解 $θ$ 的方程。

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解题步骤 17.1

化简。

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解题步骤 17.1.1

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 17.1.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$3 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

解题步骤 17.1.1.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$3 θ = \frac{π}{2} + 0$

解题步骤 17.1.2

将 $\frac{π}{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 θ = \frac{π}{2}$

解题步骤 17.2

将 $3 θ = \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 17.2.1

将 $3 θ = \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

解题步骤 17.2.2

化简左边。

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解题步骤 17.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

解题步骤 17.2.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

解题步骤 17.2.3

化简右边。

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解题步骤 17.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 17.2.3.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 17.2.3.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$θ = \frac{π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 17.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$θ = \frac{π}{6}$

解题步骤 18

使用 $θ$ 和 $r$ 的值求方程 $u^{3} = 2 i$ 的解。

$u_{0} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 19

把解转换成直角坐标形式。

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解题步骤 19.1

化简每一项。

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解题步骤 19.1.1

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 19.1.2

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

解题步骤 19.1.3

组合 $i$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

解题步骤 19.2

运用分配律。

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

解题步骤 19.3

乘以 $1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 19.3.1

组合 $1.25992104$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$u_{0} = \frac{1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

解题步骤 19.3.2

将 $1.25992104$ 乘以 $\sqrt{3}$ 。

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

解题步骤 19.4

组合 $1.25992104$ 和 $\frac{i}{2}$ 。

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

解题步骤 19.5

化简每一项。

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解题步骤 19.5.1

用 $2.18224727$ 除以 $2$ 。

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

解题步骤 19.5.2

从 $1.25992104 i$ 中分解出因数 $1.25992104$ 。

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

解题步骤 19.5.3

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

解题步骤 19.5.4

分离分数。

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

解题步骤 19.5.5

用 $1.25992104$ 除以 $2$ 。

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

解题步骤 19.5.6

用 $i$ 除以 $1$ 。

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 i$

解题步骤 20

用 $z - 3$ 代替 $u$ 以计算右移后 $z$ 的值。

$z_{0} = 3 + 1.09112363 + 0.62996052 i$

解题步骤 21

求满足 $r = 1$ 的 $θ$ 的值。

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

解题步骤 22

求解 $θ$ 的方程。

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解题步骤 22.1

化简。

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解题步骤 22.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

解题步骤 22.1.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 22.1.3

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

解题步骤 22.1.4

在公分母上合并分子。

$3 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

解题步骤 22.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

解题步骤 22.1.6

将 $π$ 和 $4 π$ 相加。

$3 θ = \frac{5 π}{2}$

解题步骤 22.2

将 $3 θ = \frac{5 π}{2}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 22.2.1

将 $3 θ = \frac{5 π}{2}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

解题步骤 22.2.2

化简左边。

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解题步骤 22.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 22.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

解题步骤 22.2.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

解题步骤 22.2.3

化简右边。

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解题步骤 22.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 22.2.3.2

乘以 $\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 22.2.3.2.1

将 $\frac{5 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

解题步骤 22.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$θ = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 23

使用 $θ$ 和 $r$ 的值求方程 $u^{3} = 2 i$ 的解。

$u_{1} = 1.25992104 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

解题步骤 24

把解转换成直角坐标形式。

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解题步骤 24.1

化简每一项。

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解题步骤 24.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$u_{1} = 1.25992104 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

解题步骤 24.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

解题步骤 24.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 24.1.4

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

解题步骤 24.1.5

组合 $i$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

解题步骤 24.2

运用分配律。

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

解题步骤 24.3

乘以 $1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 。

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解题步骤 24.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1.25992104$ 。

$u_{1} = - 1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

解题步骤 24.3.2

组合 $- 1.25992104$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$u_{1} = \frac{- 1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

解题步骤 24.3.3

将 $- 1.25992104$ 乘以 $\sqrt{3}$ 。

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

解题步骤 24.4

组合 $1.25992104$ 和 $\frac{i}{2}$ 。

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

解题步骤 24.5

化简每一项。

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解题步骤 24.5.1

用 $- 2.18224727$ 除以 $2$ 。

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

解题步骤 24.5.2

从 $1.25992104 i$ 中分解出因数 $1.25992104$ 。

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

解题步骤 24.5.3

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

解题步骤 24.5.4

分离分数。

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

解题步骤 24.5.5

用 $1.25992104$ 除以 $2$ 。

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

解题步骤 24.5.6

用 $i$ 除以 $1$ 。

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 i$

解题步骤 25

用 $z - 3$ 代替 $u$ 以计算右移后 $z$ 的值。

$z_{1} = 3 - 1.09112363 + 0.62996052 i$

解题步骤 26

求满足 $r = 2$ 的 $θ$ 的值。

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

解题步骤 27

求解 $θ$ 的方程。

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解题步骤 27.1

化简。

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解题步骤 27.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

解题步骤 27.1.2

要将 $4 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 27.1.3

组合 $4 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

解题步骤 27.1.4

在公分母上合并分子。

$3 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

解题步骤 27.1.5

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$3 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

解题步骤 27.1.6

将 $π$ 和 $8 π$ 相加。

$3 θ = \frac{9 π}{2}$

解题步骤 27.2

将 $3 θ = \frac{9 π}{2}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 27.2.1

将 $3 θ = \frac{9 π}{2}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

解题步骤 27.2.2

化简左边。

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解题步骤 27.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 27.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

解题步骤 27.2.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

解题步骤 27.2.3

化简右边。

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解题步骤 27.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 27.2.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 27.2.3.2.1

从 $9 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 27.2.3.2.2

约去公因数。

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 27.2.3.2.3

重写表达式。

$θ = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 28

使用 $θ$ 和 $r$ 的值求方程 $u^{3} = 2 i$ 的解。

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

解题步骤 29

把解转换成直角坐标形式。

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解题步骤 29.1

化简每一项。

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解题步骤 29.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

解题步骤 29.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

解题步骤 29.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- \sin (\frac{π}{2})))$

解题步骤 29.1.4

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 29.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \cdot - 1)$

解题步骤 29.1.6

将 $- 1$ 移到 $i$ 的左侧。

$u_{2} = 1.25992104 (0 - 1 \cdot i)$

解题步骤 29.1.7

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$u_{2} = 1.25992104 (0 - i)$

解题步骤 29.2

化简表达式。

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解题步骤 29.2.1

从 $0$ 中减去 $i$ 。

$u_{2} = 1.25992104 (- i)$

解题步骤 29.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1.25992104$ 。

$u_{2} = - 1.25992104 i$

解题步骤 30

用 $z - 3$ 代替 $u$ 以计算右移后 $z$ 的值。

$z_{2} = 3 - 1.25992104 i$

解题步骤 31

这些是 $u^{3} = 2 i$ 的复数解。

$z_{0} = 4.09112363 + 0.62996052 i$

$z_{1} = 1.90887636 + 0.62996052 i$

$z_{2} = 3 - 1.25992104 i$

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