三角学示例

$32 + 32 i \sqrt{3}$ , $n = 3$

解题步骤 1

使用公式 $r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 计算从 $(a, b)$ 到原点的距离。

$r = \sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

解题步骤 2

化简 $\sqrt{32^{2} + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.1.1

对 $32$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{1024 + {(\sqrt{3} \cdot 32)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $32$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$r = \sqrt{1024 + {(32 \cdot \sqrt{3})}^{2}}$

解题步骤 2.1.3

对 $32 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$r = \sqrt{1024 + 32^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 2.1.4

对 $32$ 进行 $2$ 次方运算。

$r = \sqrt{1024 + 1024 {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$r = \sqrt{1024 + 1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

约去公因数。

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.2

重写表达式。

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3^{1}}$

解题步骤 2.2.5

计算指数。

$r = \sqrt{1024 + 1024 \cdot 3}$

解题步骤 2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.3.1

将 $1024$ 乘以 $3$ 。

$r = \sqrt{1024 + 3072}$

解题步骤 2.3.2

将 $1024$ 和 $3072$ 相加。

$r = \sqrt{4096}$

解题步骤 2.3.3

将 $4096$ 重写为 $64^{2}$ 。

$r = \sqrt{64^{2}}$

解题步骤 2.3.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$r = 64$

解题步骤 3

计算参考角 $θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ 。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

解题步骤 4

化简 $\arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$ 。

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解题步骤 4.1

约去 $32$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

约去公因数。

$θ̂ = \arctan (| \frac{\sqrt{3} \cdot 32}{32} |)$

解题步骤 4.1.2

用 $\sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$θ̂ = \arctan (| \sqrt{3} |)$

解题步骤 4.2

$\sqrt{3}$ 约为 $1.7320508$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

解题步骤 4.3

$\arctan (\sqrt{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$θ̂ = \frac{π}{3}$

解题步骤 5

求象限。

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解题步骤 5.1

将 $32$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$(32, 32 \sqrt{3})$

解题步骤 5.2

因为 $x$ 和 $y$ 都为正数，所以该点位于第一象限。各象限从右上角开始按照逆时针方向进行标记。

象限 $1$

解题步骤 6

$(a, b)$ 位于第一象限。 $θ = θ̂$

$θ = \frac{π}{3}$

解题步骤 7

使用公式求复数的根。

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$

解题步骤 8

将 $r$ 、 $n$ 和 $θ$ 代入公式。

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解题步骤 8.1

组合 ${(64)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π k}{3}$ 。

$c i s \frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$

解题步骤 8.2

组合 $c$ 和 $\frac{{(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)}{3}$ 。

$i s \frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$

解题步骤 8.3

组合 $i$ 和 $\frac{c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))}{3}$ 。

$s \frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$

解题步骤 8.4

组合 $s$ 和 $\frac{i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k)))}{3}$ 。

$\frac{s (i (c ({(64)}^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

解题步骤 8.5

去掉圆括号。

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解题步骤 8.5.1

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} ((\frac{π}{3}) + 2 π k))))}{3}$

解题步骤 8.5.2

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c (64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))))}{3}$

解题步骤 8.5.3

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)))}{3}$

解题步骤 8.5.4

去掉圆括号。

$\frac{s (i (c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

解题步骤 8.5.5

去掉圆括号。

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k))}{3}$

解题步骤 8.5.6

去掉圆括号。

$\frac{s (i c \cdot 64^{\frac{1}{3}}) (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

解题步骤 8.5.7

去掉圆括号。

$\frac{s (i c) \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

解题步骤 8.5.8

去掉圆括号。

$\frac{s i c \cdot 64^{\frac{1}{3}} (\frac{π}{3} + 2 π k)}{3}$

解题步骤 9

将 $k = 0$ 代入公式并化简。

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解题步骤 9.1

将 $64$ 重写为 $4^{3}$ 。

$k = 0 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

解题步骤 9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

解题步骤 9.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1

约去公因数。

$k = 0 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

解题步骤 9.3.2

重写表达式。

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

解题步骤 9.4

计算指数。

$k = 0 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (0)}{3})$

解题步骤 9.5

乘以 $2 π (0)$ 。

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解题步骤 9.5.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0 π}{3})$

解题步骤 9.5.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 0}{3})$

解题步骤 9.6

将 $\frac{π}{3}$ 和 $0$ 相加。

$k = 0 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3}}{3})$

解题步骤 9.7

将分子乘以分母的倒数。

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 9.8

乘以 $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 9.8.1

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{3 \cdot 3})$

解题步骤 9.8.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

解题步骤 10

将 $k = 1$ 代入公式并化简。

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解题步骤 10.1

将 $64$ 重写为 $4^{3}$ 。

$k = 1 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

解题步骤 10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

解题步骤 10.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.1

约去公因数。

$k = 1 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

解题步骤 10.3.2

重写表达式。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

解题步骤 10.4

计算指数。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (1)}{3})$

解题步骤 10.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π}{3})$

解题步骤 10.6

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

解题步骤 10.7

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{3})$

解题步骤 10.8

在公分母上合并分子。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 2 π \cdot 3}{3}}{3})$

解题步骤 10.9

化简分子。

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解题步骤 10.9.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 6 π}{3}}{3})$

解题步骤 10.9.2

将 $π$ 和 $6 π$ 相加。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{\frac{7 π}{3}}{3})$

解题步骤 10.10

将分子乘以分母的倒数。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 10.11

乘以 $\frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 10.11.1

将 $\frac{7 π}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{3 \cdot 3})$

解题步骤 10.11.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

解题步骤 11

将 $k = 2$ 代入公式并化简。

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解题步骤 11.1

将 $64$ 重写为 $4^{3}$ 。

$k = 2 : {(4^{3})}^{\frac{1}{3}} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

解题步骤 11.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

解题步骤 11.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.1

约去公因数。

$k = 2 : 4^{3 (\frac{1}{3})} c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

解题步骤 11.3.2

重写表达式。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

解题步骤 11.4

计算指数。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{(\frac{π}{3}) + 2 π (2)}{3})$

解题步骤 11.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π}{3})$

解题步骤 11.6

要将 $4 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + 4 π \cdot \frac{3}{3}}{3})$

解题步骤 11.7

组合 $4 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π}{3} + \frac{4 π \cdot 3}{3}}{3})$

解题步骤 11.8

在公分母上合并分子。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 4 π \cdot 3}{3}}{3})$

解题步骤 11.9

化简分子。

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解题步骤 11.9.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{π + 12 π}{3}}{3})$

解题步骤 11.9.2

将 $π$ 和 $12 π$ 相加。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{\frac{13 π}{3}}{3})$

解题步骤 11.10

将分子乘以分母的倒数。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3})$

解题步骤 11.11

乘以 $\frac{13 π}{3} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 11.11.1

将 $\frac{13 π}{3}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{3 \cdot 3})$

解题步骤 11.11.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

解题步骤 12

列出解。

$k = 0 : 4 c i s (\frac{π}{9})$

$k = 1 : 4 c i s (\frac{7 π}{9})$

$k = 2 : 4 c i s (\frac{13 π}{9})$

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