初级微积分示例

$(3, 8)$ , $(9, 12)$

解题步骤 1

用点积公式求两个向量的夹角。

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

求点积。

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解题步骤 2.1

两个向量的乘积为其分量乘积之和。

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 9 + 8 \cdot 12$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 8 \cdot 12$

解题步骤 2.2.1.2

将 $8$ 乘以 $12$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 96$

解题步骤 2.2.2

将 $27$ 和 $96$ 相加。

$a⃗ \cdot b⃗ = 123$

解题步骤 3

求 $a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 8^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 8^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 64}$

解题步骤 3.2.3

将 $9$ 和 $64$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{73}$

解题步骤 4

求 $b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 12^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 12^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 144}$

解题步骤 4.2.3

将 $81$ 和 $144$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{225}$

解题步骤 4.2.4

将 $225$ 重写为 $15^{2}$ 。

$| b⃗ | = \sqrt{15^{2}}$

解题步骤 4.2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| b⃗ | = 15$

解题步骤 5

将值代入公式中。

$θ = \arccos (\frac{123}{\sqrt{73} \cdot 15})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

约去 $123$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从 $123$ 中分解出因数 $3$ 。

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{\sqrt{73} \cdot 15})$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

从 $\sqrt{73} \cdot 15$ 中分解出因数 $3$ 。

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

解题步骤 6.1.2.2

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 41}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

解题步骤 6.1.2.3

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{73} \cdot 5})$

解题步骤 6.2

将 $5$ 移到 $\sqrt{73}$ 的左侧。

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}})$

解题步骤 6.3

将 $\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}} \cdot \frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}})$

解题步骤 6.4

合并和化简分母。

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解题步骤 6.4.1

将 $\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \sqrt{73} \sqrt{73}})$

解题步骤 6.4.2

移动 $\sqrt{73}$ 。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 (\sqrt{73} \sqrt{73})})$

解题步骤 6.4.3

对 $\sqrt{73}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} \sqrt{73})})$

解题步骤 6.4.4

对 $\sqrt{73}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} {\sqrt{73}}^{1})})$

解题步骤 6.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{2}})$

解题步骤 6.4.7

将 ${\sqrt{73}}^{2}$ 重写为 $73$ 。

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解题步骤 6.4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{73}$ 重写成 $73^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.7.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.4.7.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{1}})$

解题步骤 6.4.7.5

计算指数。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73})$

解题步骤 6.5

将 $5$ 乘以 $73$ 。

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$

解题步骤 6.6

计算 $\arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$ 。

$θ = 16.31385242$

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