线性代数示例

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$

解题步骤 1

$ℂ^{n}$ 中的向量 $u⃗$ 和 $v⃗$ 之间的距离被定义为 $| | u⃗ - v⃗ | |$ ，它是差值 $u⃗ - v⃗$ 的欧几里得范数。

$d (u⃗, v⃗) = | | u⃗ - v⃗ | | = \sqrt{{| {u⃗}_{1} - {v⃗}_{1} |}^{2} + {| {u⃗}_{2} - {v⃗}_{2} |}^{2} + \dots + {| {u⃗}_{n} - {v⃗}_{n} |}^{2}}$

解题步骤 2

求差值 $u⃗ - v⃗$ 的范数，其中 $u⃗ = [\begin{array}{c} 2 i - 3 & 0 & 2 \end{array}]$ 和 $v⃗ = [\begin{array}{c} 0 & 1 & 2 - i \end{array}]$ 。

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解题步骤 2.1

创建差值的向量。

$[\begin{array}{c} 2 i - 3 - 0 \\ 0 - 1 \\ 2 - (2 - i) \end{array}]$

解题步骤 2.2

模是向量中每个元素的平方和的平方根。

$\sqrt{{| 2 i - 3 - 0 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

从 $2 i - 3$ 中减去 $0$ 。

$\sqrt{{| 2 i - 3 |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

重新整理项。

$\sqrt{{| - 3 + 2 i |}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

使用公式 $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求大小。

$\sqrt{{\sqrt{{(- 3)}^{2} + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

解题步骤 2.3.4

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{{\sqrt{9 + 2^{2}}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

解题步骤 2.3.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{{\sqrt{9 + 4}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

解题步骤 2.3.6

将 $9$ 和 $4$ 相加。

$\sqrt{{\sqrt{13}}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

解题步骤 2.3.7

将 ${\sqrt{13}}^{2}$ 重写为 $13$ 。

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解题步骤 2.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{13}$ 重写成 $13^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{{(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

解题步骤 2.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

解题步骤 2.3.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

解题步骤 2.3.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.7.4.1

约去公因数。

$\sqrt{13^{\frac{2}{2}} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

解题步骤 2.3.7.4.2

重写表达式。

$\sqrt{13^{1} + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

解题步骤 2.3.7.5

计算指数。

$\sqrt{13 + {(0 - 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

解题步骤 2.3.8

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\sqrt{13 + {(- 1)}^{2} + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

解题步骤 2.3.9

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - (2 - i) |}^{2}}$

解题步骤 2.3.10

化简每一项。

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解题步骤 2.3.10.1

运用分配律。

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 1 \cdot 2 - - i |}^{2}}$

解题步骤 2.3.10.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 - - i |}^{2}}$

解题步骤 2.3.10.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + 1 i |}^{2}}$

解题步骤 2.3.10.4

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{13 + 1 + {| 2 - 2 + i |}^{2}}$

解题步骤 2.3.11

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\sqrt{13 + 1 + {| 0 + i |}^{2}}$

解题步骤 2.3.12

将 $0$ 和 $i$ 相加。

$\sqrt{13 + 1 + {| i |}^{2}}$

解题步骤 2.3.13

使用公式 $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求大小。

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0^{2} + 1^{2}}}^{2}}$

解题步骤 2.3.14

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1^{2}}}^{2}}$

解题步骤 2.3.15

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{0 + 1}}^{2}}$

解题步骤 2.3.16

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{13 + 1 + {\sqrt{1}}^{2}}$

解题步骤 2.3.17

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sqrt{13 + 1 + 1^{2}}$

解题步骤 2.3.18

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{13 + 1 + 1}$

解题步骤 2.3.19

将 $13$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{14 + 1}$

解题步骤 2.3.20

将 $14$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{15}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\sqrt{15}$

小数形式：

$3.87298334 \dots$

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