线性代数 示例

用交叉乘积求向量间的夹角
,
解题步骤 1
用交叉乘积公式求两个向量的夹角。
解题步骤 2
求交叉乘积。
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解题步骤 2.1
向量 的交叉乘积可以写成包含 中标准单位向量以及给定向量的元素的行列式。
解题步骤 2.2
用给定值设置行列式。
解题步骤 2.3
选择包含最多 元素的行或列。如果没有 元素,选择任何一行或一列。将第 行中的每个元素乘以其代数余子式,然后相加。
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解题步骤 2.3.1
考虑相应的符号表。
解题步骤 2.3.2
代数余子式是指在索引与符号图上的 位置匹配的情况下符号发生更改的子式。
解题步骤 2.3.3
的子式是已删除了行 和列 的行列式。
解题步骤 2.3.4
将元素 乘以其代数余子式。
解题步骤 2.3.5
的子式是已删除了行 和列 的行列式。
解题步骤 2.3.6
将元素 乘以其代数余子式。
解题步骤 2.3.7
的子式是已删除了行 和列 的行列式。
解题步骤 2.3.8
将元素 乘以其代数余子式。
解题步骤 2.3.9
最后把这些项加起来。
解题步骤 2.4
计算
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解题步骤 2.4.1
可以使用公式 矩阵的行列式。
解题步骤 2.4.2
化简行列式。
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解题步骤 2.4.2.1
化简每一项。
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解题步骤 2.4.2.1.1
乘以
解题步骤 2.4.2.1.2
乘以
解题步骤 2.4.2.2
中减去
解题步骤 2.5
计算
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解题步骤 2.5.1
可以使用公式 矩阵的行列式。
解题步骤 2.5.2
化简行列式。
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解题步骤 2.5.2.1
化简每一项。
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解题步骤 2.5.2.1.1
乘以
解题步骤 2.5.2.1.2
乘以
解题步骤 2.5.2.2
相加。
解题步骤 2.6
计算
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解题步骤 2.6.1
可以使用公式 矩阵的行列式。
解题步骤 2.6.2
化简行列式。
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解题步骤 2.6.2.1
化简每一项。
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解题步骤 2.6.2.1.1
乘以
解题步骤 2.6.2.1.2
乘以
解题步骤 2.6.2.2
相加。
解题步骤 2.7
乘以
解题步骤 2.8
重写解答。
解题步骤 3
求交叉乘积的大小。
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解题步骤 3.1
模是向量中每个元素的平方和的平方根。
解题步骤 3.2
化简。
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解题步骤 3.2.1
进行 次方运算。
解题步骤 3.2.2
进行 次方运算。
解题步骤 3.2.3
进行 次方运算。
解题步骤 3.2.4
相加。
解题步骤 3.2.5
相加。
解题步骤 4
的大小。
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解题步骤 4.1
模是向量中每个元素的平方和的平方根。
解题步骤 4.2
化简。
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解题步骤 4.2.1
一的任意次幂都为一。
解题步骤 4.2.2
进行 次方运算。
解题步骤 4.2.3
进行 次方运算。
解题步骤 4.2.4
相加。
解题步骤 4.2.5
相加。
解题步骤 5
的大小。
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解题步骤 5.1
模是向量中每个元素的平方和的平方根。
解题步骤 5.2
化简。
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解题步骤 5.2.1
进行任意正数次方的运算均得到
解题步骤 5.2.2
进行 次方运算。
解题步骤 5.2.3
一的任意次幂都为一。
解题步骤 5.2.4
相加。
解题步骤 5.2.5
相加。
解题步骤 6
将值代入公式中。
解题步骤 7
化简。
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解题步骤 7.1
化简分母。
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解题步骤 7.1.1
使用根数乘积法则进行合并。
解题步骤 7.1.2
乘以
解题步骤 7.2
化简分母。
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解题步骤 7.2.1
重写为
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解题步骤 7.2.1.1
中分解出因数
解题步骤 7.2.1.2
重写为
解题步骤 7.2.2
从根式下提出各项。
解题步骤 7.3
乘以
解题步骤 7.4
合并和化简分母。
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解题步骤 7.4.1
乘以
解题步骤 7.4.2
移动
解题步骤 7.4.3
进行 次方运算。
解题步骤 7.4.4
进行 次方运算。
解题步骤 7.4.5
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 7.4.6
相加。
解题步骤 7.4.7
重写为
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解题步骤 7.4.7.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 7.4.7.2
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 7.4.7.3
组合
解题步骤 7.4.7.4
约去 的公因数。
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解题步骤 7.4.7.4.1
约去公因数。
解题步骤 7.4.7.4.2
重写表达式。
解题步骤 7.4.7.5
计算指数。
解题步骤 7.5
化简分子。
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解题步骤 7.5.1
使用根数乘积法则进行合并。
解题步骤 7.5.2
乘以
解题步骤 7.6
乘以
解题步骤 7.7
计算
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