线性代数示例

$x + y + 4 z = 2$ , $x + 2 y - 4 z = 1$ , $3 x + 8 y + k z = 2$

解题步骤 1

以矩阵形式书写方程组。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 3 & 8 & k & 2 \end{array}]$

解题步骤 2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 2.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.1.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 1 - 1 & 2 - 1 & - 4 - 4 & 1 - 2 \\ 3 & 8 & k & 2 \end{array}]$

解题步骤 2.1.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 3 & 8 & k & 2 \end{array}]$

解题步骤 2.2

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.2.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 3 - 3 \cdot 1 & 8 - 3 \cdot 1 & k - 3 \cdot 4 & 2 - 3 \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 2.2.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 & 5 & k - 12 & - 4 \end{array}]$

解题步骤 2.3

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.3.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 - 5 \cdot 0 & 5 - 5 \cdot 1 & k - 12 - 5 \cdot - 8 & - 4 - 5 \cdot - 1 \end{array}]$

解题步骤 2.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 & 0 & k + 28 & 1 \end{array}]$

解题步骤 2.4

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{k + 28}$ ，使 $3, 3$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $R_{3}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{k + 28}$ ，使 $3, 3$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ \frac{0}{k + 28} & \frac{0}{k + 28} & \frac{k + 28}{k + 28} & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

解题步骤 2.4.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & - 8 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

解题步骤 2.5

执行行操作 $R_{2} = R_{2} + 8 R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.5.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} + 8 R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 + 8 \cdot 0 & 1 + 8 \cdot 0 & - 8 + 8 \cdot 1 & - 1 + 8 \frac{1}{k + 28} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

解题步骤 2.5.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{k + 20}{k + 28} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

解题步骤 2.6

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 4 R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.6.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 4 R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 4 \cdot 0 & 1 - 4 \cdot 0 & 4 - 4 \cdot 1 & 2 - 4 \frac{1}{k + 28} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{k + 20}{k + 28} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

解题步骤 2.6.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & \frac{2 (k + 26)}{k + 28} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{k + 20}{k + 28} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

解题步骤 2.7

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.7.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & \frac{2 (k + 26)}{k + 28} + \frac{k + 20}{k + 28} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{k + 20}{k + 28} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

解题步骤 2.7.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{3 (k + 24)}{k + 28} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{k + 20}{k + 28} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{k + 28} \end{array}]$

解题步骤 3

因为当 $\frac{1}{k + 28}$ 时 $k = - 28$ 无意义，所以 $k = - 28$ 使得方程组无解。

$k = - 28$

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