线性代数示例

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}]$

解题步骤 1

求特征值。

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解题步骤 1.1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$

解题步骤 1.2

大小为 $2$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $2 \times 2$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1.3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{2})$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

解题步骤 1.3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{2}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 1.4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 1.4.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 1.4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3

Simplify each element.

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解题步骤 1.4.3.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 12 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.4.3.2

将 $12$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & 3 \\ 12 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 1.5

Find the determinant.

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解题步骤 1.5.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (1 - λ) (2 - λ) - 12 \cdot 3$

解题步骤 1.5.2

化简行列式。

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解题步骤 1.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 - λ) (2 - λ)$ 。

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解题步骤 1.5.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = 1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 12 \cdot 3$

解题步骤 1.5.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - 12 \cdot 3$

解题步骤 1.5.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = 1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

解题步骤 1.5.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.5.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.2.1.2.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.2

将 $- λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - 12 \cdot 3$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 12 \cdot 3$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 1.5.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 12 \cdot 3$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 12 \cdot 3$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 12 \cdot 3$

解题步骤 1.5.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3$

解题步骤 1.5.2.1.2.2

从 $- λ$ 中减去 $2 λ$ 。

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 12 \cdot 3$

解题步骤 1.5.2.1.3

将 $- 12$ 乘以 $3$ 。

$p (λ) = 2 - 3 λ + λ^{2} - 36$

解题步骤 1.5.2.2

从 $2$ 中减去 $36$ 。

$p (λ) = - 3 λ + λ^{2} - 34$

解题步骤 1.5.2.3

将 $- 3 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = λ^{2} - 3 λ - 34$

解题步骤 1.6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$λ^{2} - 3 λ - 34 = 0$

解题步骤 1.7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 1.7.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 1.7.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 3$ 和 $c = - 34$ 的值代入二次公式中并求解 $λ$ 。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 34)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.3

化简。

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解题步骤 1.7.3.1

化简分子。

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解题步骤 1.7.3.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 34$ 。

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解题步骤 1.7.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 34}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 34$ 。

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 136}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.3.1.3

将 $9$ 和 $136$ 相加。

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.7.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$λ = \frac{3 \pm \sqrt{145}}{2}$

解题步骤 1.7.4

最终答案为两个解的组合。

$λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}, \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$

解题步骤 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

解题步骤 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ .

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解题步骤 3.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $- \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 3.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.2

乘以 $- \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $\frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.3

乘以 $- \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $\frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 3.2.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.2.3

Simplify each element.

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解题步骤 3.2.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.2

在公分母上合并分子。

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (3 + \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.3

化简分子。

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解题步骤 3.2.3.3.1

运用分配律。

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.3.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.3.3

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.5

从 $- \sqrt{145}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - (\sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.6

从 $- 1 (1) - (\sqrt{145})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1 + \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.7

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.8

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.9

将 $12$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.10

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.11

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.12

在公分母上合并分子。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2 - (3 + \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.13

化简分子。

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解题步骤 3.2.3.13.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - (3 + \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.13.2

运用分配律。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 1 \cdot 3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.13.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.2.3.13.4

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 3.3

Find the null space when $λ = \frac{3 + \sqrt{145}}{2}$ .

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解题步骤 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 3 & 0 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 3.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{145}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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解题步骤 3.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 + \sqrt{145}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{1 + \sqrt{145}} (- \frac{1 + \sqrt{145}}{2}) & - \frac{2}{1 + \sqrt{145}} \cdot 3 & - \frac{2}{1 + \sqrt{145}} \cdot 0 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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解题步骤 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{2} - 12 \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 - 12 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 - \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1 - \sqrt{145}}{24} y = 0$

$0 = 0$

解题步骤 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{24} + \frac{\sqrt{145} y}{24} \\ y \end{array}]$

解题步骤 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

解题步骤 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ .

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解题步骤 4.1

将已知值代入公式中。

$N ([\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $- \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.2

乘以 $- \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $\frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.3

乘以 $- \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $\frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

解题步骤 4.2.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 \\ 12 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.2

加上相应元素。

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.2.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.2

在公分母上合并分子。

$[\begin{array}{c} \frac{2 - (3 - \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.3.1

运用分配律。

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 1 \cdot 3 - - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.3.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 - - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.3.3

乘以 $- - \sqrt{145}$ 。

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解题步骤 4.2.3.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 + 1 \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.3.3.2

将 $\sqrt{145}$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{2 - 3 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.3.4

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) + \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.5

从 $\sqrt{145}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1) - 1 (- \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.6

从 $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{145})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1 (1 - \sqrt{145})}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.7

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 + 0 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.8

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 + 0 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.9

将 $12$ 和 $0$ 相加。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.10

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.11

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3 - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.12

在公分母上合并分子。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{2 \cdot 2 - (3 - \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.13

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.13.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - (3 - \sqrt{145})}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.13.2

运用分配律。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 1 \cdot 3 - - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.13.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 - - \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.13.4

乘以 $- - \sqrt{145}$ 。

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解题步骤 4.2.3.13.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 + 1 \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.13.4.2

将 $\sqrt{145}$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{4 - 3 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.2.3.13.5

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} \end{array}]$

解题步骤 4.3

Find the null space when $λ = \frac{3 - \sqrt{145}}{2}$ .

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解题步骤 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{145}}{2} & 3 & 0 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{145}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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解题步骤 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $- \frac{2}{1 - \sqrt{145}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{2}{1 - \sqrt{145}} (- \frac{1 - \sqrt{145}}{2}) & - \frac{2}{1 - \sqrt{145}} \cdot 3 & - \frac{2}{1 - \sqrt{145}} \cdot 0 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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解题步骤 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 12 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 12 - 12 \cdot 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{2} - 12 \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 - 12 \cdot 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1 + \sqrt{145}}{24} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x + \frac{1 + \sqrt{145}}{24} y = 0$

$0 = 0$

解题步骤 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{y}{24} - \frac{\sqrt{145} y}{24} \\ y \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

解题步骤 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]}$

解题步骤 5

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} - \frac{1}{24} + \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - \frac{1}{24} - \frac{\sqrt{145}}{24} \\ 1 \end{array}]}$

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线性代数 示例

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