示例

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

解题步骤 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

解题步骤 2

Find the determinant.

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解题步骤 2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$4 \cdot 1 - 3 \cdot 2$

解题步骤 2.2

化简行列式。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 - 3 \cdot 2$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$4 - 6$

解题步骤 2.2.2

从 $4$ 中减去 $6$ 。

$- 2$

解题步骤 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

解题步骤 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 2} [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array}]$

解题步骤 5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{2} [\begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 3 & 4 \end{array}]$

解题步骤 6

将 $- \frac{1}{2}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot 1 & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

解题步骤 7

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

解题步骤 7.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot - 2 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

解题步骤 7.2.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (- 1)) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

解题步骤 7.2.3

约去公因数。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

解题步骤 7.2.4

重写表达式。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & - 1 \cdot - 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

解题步骤 7.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

解题步骤 7.4

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot - 3$ 。

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解题步骤 7.4.1

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ 3 (\frac{1}{2}) & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

解题步骤 7.4.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - \frac{1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

解题步骤 7.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot 4 \end{array}]$

解题步骤 7.5.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2)) \end{array}]$

解题步骤 7.5.3

约去公因数。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) \end{array}]$

解题步骤 7.5.4

重写表达式。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - 1 \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 7.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} & 1 \\ \frac{3}{2} & - 2 \end{array}]$

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