示例

求垂直于平面 1 且经过原点的直线与平面 2 的交点
,
解题步骤 1
要求经过点 且垂直于平面 和平面 直线的交点:
1. 求平面 和平面 的法向量 。检验其点积是否为 0。
2. 创建一个参数方程组,比如
3. 将这些等式代入平面方程 ,使得 并求解
4. 使用 的值,求解参数方程 ,以求 的交集
解题步骤 2
求每一平面的法向量并通过计算点积来判断它们是否垂直。
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解题步骤 2.1
。求平面方程 的法向量
解题步骤 2.2
。求平面方程 的法向量
解题步骤 2.3
将法向量中相对应的 数值乘积相加,计算 的点积。
解题步骤 2.4
化简点积。
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解题步骤 2.4.1
去掉圆括号。
解题步骤 2.4.2
化简每一项。
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解题步骤 2.4.2.1
乘以
解题步骤 2.4.2.2
乘以
解题步骤 2.4.2.3
乘以
解题步骤 2.4.3
通过加上各数进行化简。
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解题步骤 2.4.3.1
相加。
解题步骤 2.4.3.2
相加。
解题步骤 3
下一步,使用点 的原点 和标准向量 的值,建立一组参数方程 。这组参数方程表示经过原点并与 垂直的直线。
解题步骤 4
将表达式 代入 的方程。
解题步骤 5
求解 的方程。
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解题步骤 5.1
化简
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解题步骤 5.1.1
合并 中相反的项。
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解题步骤 5.1.1.1
相加。
解题步骤 5.1.1.2
中减去
解题步骤 5.1.2
化简每一项。
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解题步骤 5.1.2.1
重写为
解题步骤 5.1.2.2
乘以
解题步骤 5.1.3
相加。
解题步骤 5.2
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 5.2.1
中的每一项都除以
解题步骤 5.2.2
化简左边。
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解题步骤 5.2.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 5.2.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 5.2.2.1.2
除以
解题步骤 5.2.3
化简右边。
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解题步骤 5.2.3.1
将负号移到分数的前面。
解题步骤 6
使用 的值求解 的参数方程。
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解题步骤 6.1
求解 的方程。
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解题步骤 6.1.1
去掉圆括号。
解题步骤 6.1.2
去掉圆括号。
解题步骤 6.1.3
化简
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解题步骤 6.1.3.1
化简每一项。
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解题步骤 6.1.3.1.1
乘以
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解题步骤 6.1.3.1.1.1
乘以
解题步骤 6.1.3.1.1.2
组合
解题步骤 6.1.3.1.1.3
乘以
解题步骤 6.1.3.1.2
将负号移到分数的前面。
解题步骤 6.1.3.2
中减去
解题步骤 6.2
求解 的方程。
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解题步骤 6.2.1
去掉圆括号。
解题步骤 6.2.2
去掉圆括号。
解题步骤 6.2.3
化简
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解题步骤 6.2.3.1
乘以
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解题步骤 6.2.3.1.1
乘以
解题步骤 6.2.3.1.2
乘以
解题步骤 6.2.3.2
相加。
解题步骤 6.3
求解 的方程。
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解题步骤 6.3.1
去掉圆括号。
解题步骤 6.3.2
去掉圆括号。
解题步骤 6.3.3
化简
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解题步骤 6.3.3.1
乘以
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解题步骤 6.3.3.1.1
乘以
解题步骤 6.3.3.1.2
乘以
解题步骤 6.3.3.2
相加。
解题步骤 6.4
所求得的 的参数方程。
解题步骤 7
使用对 计算所得的值,求得的交点为
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