有限数学示例

$f (x) = x^{2} - x^{3} + 4 x$

解题步骤 1

求 $f (- x)$ 。

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解题步骤 1.1

通过代入 $- x$ 替换 $f (x)$ 中所有出现的 $x$ 来求 $f (- x)$ 。

$f (- x) = {(- x)}^{2} - {(- x)}^{3} + 4 (- x)$

解题步骤 1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = {(- 1)}^{2} x^{2} - {(- x)}^{3} + 4 (- x)$

解题步骤 1.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- x) = 1 x^{2} - {(- x)}^{3} + 4 (- x)$

解题步骤 1.2.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = x^{2} - {(- x)}^{3} + 4 (- x)$

解题步骤 1.2.4

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = x^{2} - ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 4 (- x)$

解题步骤 1.2.5

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

移动 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f (- x) = x^{2} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 x^{3}) + 4 (- x)$

解题步骤 1.2.5.2

将 ${(- 1)}^{3}$ 乘以 $- 1$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- x) = x^{2} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) x^{3}) + 4 (- x)$

解题步骤 1.2.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- x) = x^{2} + {(- 1)}^{3 + 1} x^{3} + 4 (- x)$

解题步骤 1.2.5.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$f (- x) = x^{2} + {(- 1)}^{4} x^{3} + 4 (- x)$

解题步骤 1.2.6

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- x) = x^{2} + 1 x^{3} + 4 (- x)$

解题步骤 1.2.7

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = x^{2} + x^{3} + 4 (- x)$

解题步骤 1.2.8

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (- x) = x^{2} + x^{3} - 4 x$

解题步骤 2

如果一个函数满足 $f (- x) = f (x)$ ，那么它是一个偶函数。

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解题步骤 2.1

判断 $f (- x) = f (x)$ 是否成立。

解题步骤 2.2

因为 $x^{2} + x^{3} - 4 x$ $\neq$ $x^{2} - x^{3} + 4 x$ ，所以该函数不是偶函数。

该函数不是偶函数

解题步骤 3

如果一个函数满足 $f (- x) = - f (x)$ ，那么它是一个奇函数。

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解题步骤 3.1

求 $- f (x)$ 。

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解题步骤 3.1.1

将 $x^{2} - x^{3} + 4 x$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = - (x^{2} - x^{3} + 4 x)$

解题步骤 3.1.2

运用分配律。

$- f (x) = - x^{2} + x^{3} - (4 x)$

解题步骤 3.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- f (x) = - x^{2} + x^{3} - 4 x$

解题步骤 3.2

因为 $x^{2} + x^{3} - 4 x$ $\neq$ $- x^{2} + x^{3} - 4 x$ ，所以该函数不是奇函数。

该函数不是奇函数

解题步骤 4

该函数既不是奇函数也不是偶函数

解题步骤 5

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