微积分学示例

$\int x e^{2 x} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = e^{2 x}$ 。

$x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

解题步骤 2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{2 x}$ 。

$x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

解题步骤 2.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

解题步骤 4

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 5

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

解题步骤 7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

解题步骤 8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

解题步骤 9

将 $\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ 重写为 $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ 。

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

解题步骤 10

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

输入您的问题

微积分学 示例

微积分学示例