微积分学示例

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}$

解题步骤 1

对于无穷级数 $\sum_{}^{} a_{n}$ ，用 Cauchy 根检验求极限 $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ 以判断收敛性。

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

解题步骤 2

替换为 $a_{n}$ 。

$L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将指数移至绝对值。

$L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |$

解题步骤 3.2

将 ${({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

解题步骤 3.2.2

约去 $n$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1

约去公因数。

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

解题步骤 3.2.2.2

重写表达式。

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

解题步骤 3.3

化简。

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

将极限移到绝对值符号内。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

解题步骤 4.2

用分子和分母除以分母中 $n$ 的最高次幂，即 $n^{3}$ 。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

解题步骤 4.3

计算极限值。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

约去 $n$ 和 $n^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.1.1

从 $2 n$ 中分解出因数 $n$ 。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

解题步骤 4.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.1.1.2.1

从 $n^{3}$ 中分解出因数 $n$ 。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

解题步骤 4.3.1.1.2.2

约去公因数。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

解题步骤 4.3.1.1.2.3

重写表达式。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

解题步骤 4.3.1.2

约去 $n^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.2.1

约去公因数。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

解题步骤 4.3.1.2.2

重写表达式。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

解题步骤 4.3.2

约去 $n^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

约去公因数。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

解题步骤 4.3.2.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

解题步骤 4.3.3

当 $n$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

解题步骤 4.3.4

当 $n$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

解题步骤 4.3.5

因为项 $2$ 对于 $n$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

解题步骤 4.4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{n^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

解题步骤 4.5

计算极限值。

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解题步骤 4.5.1

计算 $1$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

解题步骤 4.5.2

当 $n$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

解题步骤 4.5.3

计算 $5$ 的极限值，当 $n$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

解题步骤 4.6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{n^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |$

解题步骤 4.7

化简答案。

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解题步骤 4.7.1

化简分子。

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解题步骤 4.7.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |$

解题步骤 4.7.1.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

解题步骤 4.7.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$L = | \frac{1}{5} |$

解题步骤 4.7.3

$\frac{1}{5}$ 约为 $0.2$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$L = \frac{1}{5}$

解题步骤 4.8

用 $1$ 除以 $5$ 。

$L = 0.2$

解题步骤 5

如果 $L < 1$ ，级数绝对收敛。如果 $L > 1$ ，级数发散。如果 $L = 1$ ，检验没有结果。在本例中， $L < 1$ 。

级数在 $[1, \infty)$ 上收敛

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