微积分学示例

$\int 6 {(2 x - 1)}^{- 3} d x$ , $u = 2 x - 1$

解题步骤 1

使 $u = 2 x - 1$ ，然后 $d u = 2 d x$ 。用 $u$ 和 $d u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 2 x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{3}{u^{3}} d u$

解题步骤 2

由于 $3$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1

通过将 $u^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$3 \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

解题步骤 3.2

将 ${(u^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 \int u^{3 \cdot - 1} d u$

解题步骤 3.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$3 \int u^{- 3} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{- 3}$ 对 $u$ 的积分是 $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ 。

$3 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简。

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解题步骤 5.1.1

组合 $u^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$3 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

解题步骤 5.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $u^{- 2}$ 移动到分母。

$3 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

解题步骤 5.2

化简。

$3 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- 3 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

解题步骤 5.3.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2 u^{2}}$ 。

$\frac{- 3}{2 u^{2}} + C$

解题步骤 5.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{2 u^{2}} + C$

解题步骤 6

使用 $2 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{3}{2 {(2 x - 1)}^{2}} + C$

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