微积分学示例

$(\sin (y) + x) d x + (x \cos (y)) d y = 0$

解题步骤 1

求 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 在 $M (x, y) = \sin (y) + x$ 的值。

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解题步骤 1.1

将 $M$ 相对于 $y$ 进行微分。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y) + x]$

解题步骤 1.2

根据加法法则， $\sin (y) + x$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 1.3

$\sin (y)$ 对 $y$ 的导数为 $\cos (y)$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + \frac{d}{d y} [x]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y) + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $\cos (y)$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (y)$

解题步骤 2

求 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 在 $N (x, y) = x \cos (y)$ 的值。

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解题步骤 2.1

将 $N$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cos (y)]$

解题步骤 2.2

因为 $\cos (y)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x \cos (y)$ 对 $x$ 的导数是 $\cos (y) \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \cdot 1$

解题步骤 2.4

将 $\cos (y)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y)$

解题步骤 3

判断 $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\cos (y)$ 代入 $\frac{\partial M}{\partial y}$ ，将 $\cos (y)$ 代入 $\frac{\partial N}{\partial x}$ 。

$\cos (y) = \cos (y)$

解题步骤 3.2

因为两边已证明为相等，所以该方程是恒等式。

$\cos (y) = \cos (y)$ 是一个恒等式。

解题步骤 4

使 $f (x, y)$ 等于 $N (x, y)$ 的积分。

$f (x, y) = \int x \cos (y) d y$

解题步骤 5

对 $N (x, y) = x \cos (y)$ 积分以求 $f (x, y)$ 。

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解题步骤 5.1

由于 $x$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $x$ 移到积分外。

$f (x, y) = x \int \cos (y) d y$

解题步骤 5.2

$\cos (y)$ 对 $y$ 的积分为 $\sin (y)$ 。

$f (x, y) = x (\sin (y) + C)$

解题步骤 5.3

化简。

$f (x, y) = x \sin (y) + C$

解题步骤 6

由于 $g (x)$ 的积分将包含一个积分常数，可以用 $g (x)$ 替换 $C$ 。

$f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$

解题步骤 7

设置 $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ 。

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sin (y) + x$

解题步骤 8

求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $f$ 相对于 $x$ 进行微分。

$\frac{d}{d x} [x \sin (y) + g (x)] = \sin (y) + x$

解题步骤 8.2

根据加法法则， $x \sin (y) + g (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

解题步骤 8.3

计算 $\frac{d}{d x} [x \sin (y)]$ 。

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解题步骤 8.3.1

因为 $\sin (y)$ 对于 $x$ 是常数，所以 $x \sin (y)$ 对 $x$ 的导数是 $\sin (y) \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\sin (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

解题步骤 8.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sin (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

解题步骤 8.3.3

将 $\sin (y)$ 乘以 $1$ 。

$\sin (y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sin (y) + x$

解题步骤 8.4

使用函数法则进行微分，即 $g (x)$ 的导数为 $\frac{d g}{d x}$ 。

$\sin (y) + \frac{d g}{d x} = \sin (y) + x$

解题步骤 8.5

重新排序项。

$\frac{d g}{d x} + \sin (y) = \sin (y) + x$

解题步骤 9

求解 $\frac{d g}{d x}$ 。

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解题步骤 9.1

将所有不包含 $\frac{d g}{d x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.1.1

从等式两边同时减去 $\sin (y)$ 。

$\frac{d g}{d x} = \sin (y) + x - \sin (y)$

解题步骤 9.1.2

合并 $\sin (y) + x - \sin (y)$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.2.1

从 $\sin (y)$ 中减去 $\sin (y)$ 。

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

解题步骤 9.1.2.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{d g}{d x} = x$

解题步骤 10

求 $x$ 的不定积分，以求出 $g (x)$ 。

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解题步骤 10.1

对 $\frac{d g}{d x} = x$ 的两边积分。

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

解题步骤 10.2

计算 $\int \frac{d g}{d x} d x$ 。

$g (x) = \int x d x$

解题步骤 10.3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 11

在 $f (x, y) = x \sin (y) + g (x)$ 中代入 $g (x)$ 。

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$f (x, y) = x \sin (y) + \frac{x^{2}}{2} + C$

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