微积分学示例

$y = x - 2$ , $(2, 7)$

解题步骤 1

函数 $f$ 在特定区间 $[a, b]$ 上的均方根 (RMS) 是原始值平方的算术平均值（平均数）的平方根。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

解题步骤 2

将实际值代入公式中以求函数的均方根。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{7 - 2} \cdot (\int_{2}^{7} {(x - 2)}^{2} d x)}$

解题步骤 3

计算积分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使 $u = x - 2$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

设 $u = x - 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1.1

对 $x - 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 3.1.1.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 3.1.1.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 3.1.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 3.1.2

将下限代入替换 $u = x - 2$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 - 2$

解题步骤 3.1.3

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 3.1.4

将上限代入替换 $u = x - 2$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 7 - 2$

解题步骤 3.1.5

从 $7$ 中减去 $2$ 。

$u_{upper} = 5$

解题步骤 3.1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

解题步骤 3.1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{5} u^{2} d u$

解题步骤 3.2

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{5}$

解题步骤 3.3

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

计算 $\frac{1}{3} u^{3}$ 在 $5$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $125$ 。

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

解题步骤 3.3.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

解题步骤 3.3.2.4

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{125}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

解题步骤 3.3.2.5

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{125}{3} + 0$

解题步骤 3.3.2.6

将 $\frac{125}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{125}{3}$

解题步骤 4

化简均方根公式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{7 - 2}$ 乘以 $\frac{125}{3}$ 。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{(7 - 2) \cdot 3}}$

解题步骤 4.2

从 $7$ 中减去 $2$ 。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{5 \cdot 3}}$

解题步骤 4.3

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{125}{5 \cdot 3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

从 $125$ 中分解出因数 $5$ 。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

解题步骤 4.3.2

从 $5 \cdot 3$ 中分解出因数 $5$ 。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 (3)}}$

解题步骤 4.3.3

约去公因数。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

解题步骤 4.3.4

重写表达式。

$f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}$

解题步骤 4.4

将 $\sqrt{\frac{25}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$ 。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.6

将 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.7

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.7.1

将 $\frac{5}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.7.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.7.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 4.7.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.7.6.4.1

约去公因数。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.7.6.4.2

重写表达式。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 4.7.6.5

计算指数。

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

小数形式：

$f_{rms} = 2.88675134 \dots$

解题步骤 6

输入您的问题

微积分学 示例

微积分学示例