微积分学示例

$y = 3 x^{2} + 3 x$ , $(- 5, 1)$

解题步骤 1

将 $y = 3 x^{2} + 3 x$ 书写为一个函数。

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

$f (x)$ 在 $[- 5, 1]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 4

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 5

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} + 3 x d x)$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (\int_{- 5}^{1} 3 x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

解题步骤 7

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 \int_{- 5}^{1} x^{2} d x + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 3 x d x)$

解题步骤 10

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 \int_{- 5}^{1} x d x)$

解题步骤 11

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}))$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 5}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))$

解题步骤 12.2

代入并化简。

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解题步骤 12.2.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $- 5$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}))$

解题步骤 12.2.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $1$ 处和在 $- 5$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.3

化简。

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解题步骤 12.2.3.1

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 5)}^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.3.2

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} - \frac{- 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{125}{3})) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.3.5

将 $\frac{125}{3}$ 乘以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1}{3} + \frac{125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.3.6

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{1 + 125}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.3.7

将 $1$ 和 $125$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{126}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.3.8

约去 $126$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.3.8.1

从 $126$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.3.8.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.3.8.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3 (1)}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.3.8.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.3.8.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 (\frac{42}{1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.3.8.2.4

用 $42$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (3 \cdot 42 + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.3.9

将 $3$ 乘以 $42$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.3.10

一的任意次幂都为一。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}))$

解题步骤 12.2.3.11

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1}{2} - \frac{25}{2}))$

解题步骤 12.2.3.12

在公分母上合并分子。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{1 - 25}{2}))$

解题步骤 12.2.3.13

从 $1$ 中减去 $25$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{- 24}{2}))$

解题步骤 12.2.3.14

约去 $- 24$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.3.14.1

从 $- 24$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2}))$

解题步骤 12.2.3.14.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.3.14.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2 (1)}))$

解题步骤 12.2.3.14.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1}))$

解题步骤 12.2.3.14.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 (\frac{- 12}{1}))$

解题步骤 12.2.3.14.2.4

用 $- 12$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 + 3 \cdot - 12)$

解题步骤 12.2.3.15

将 $3$ 乘以 $- 12$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (126 - 36)$

解题步骤 12.2.3.16

从 $126$ 中减去 $36$ 。

$A (x) = \frac{1}{1 + 5} (90)$

解题步骤 13

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 90$

解题步骤 14

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 14.1

从 $90$ 中分解出因数 $6$ 。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 (15))$

解题步骤 14.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (6 \cdot 15)$

解题步骤 14.3

重写表达式。

$A (x) = 15$

解题步骤 15

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