微积分学示例

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 2 x - 1$ , $[0, 2]$

解题步骤 1

求 $f (x) = x^{3} - x^{2} + 2 x - 1$ 的导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - x^{2} + 2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 2 x + 2 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $3 x^{2} - 2 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x + 2$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 2 x + 2$ 。

$3 x^{2} - 2 x + 2$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

$f' (x)$ 在 $[0, 2]$ 上连续。

$f' (x)$ 是连续的

解题步骤 4

函数 $f'$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 5

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 3 x^{2} - 2 x + 2 d x)$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

解题步骤 7

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 2 x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

解题步骤 10

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} 2 d x)$

解题步骤 11

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 d x)$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 d x)$

解题步骤 13

应用常数不变法则。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 2 x]_{0}^{2})$

解题步骤 14

代入并化简。

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解题步骤 14.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + 2 x]_{0}^{2})$

解题步骤 14.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{2})$

解题步骤 14.3

计算 $2 x$ 在 $2$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4

化简。

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解题步骤 14.4.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.3

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 14.4.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.3.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.3.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} - 0) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3} + 0) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.5

将 $\frac{8}{3}$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (3 (\frac{8}{3}) - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.6

组合 $3$ 和 $\frac{8}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.7

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{24}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.8

约去 $24$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.8.1

从 $24$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.8.2

约去公因数。

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解题步骤 14.4.8.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3 (1)} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.8.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 1} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.8.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{8}{1} - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.8.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.10

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.10.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.10.2

约去公因数。

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解题步骤 14.4.10.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.10.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.10.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.10.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.11

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.12

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.12.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.12.2

约去公因数。

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解题步骤 14.4.12.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.12.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.12.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.12.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 - 0) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.13

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 (2 + 0) + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.14

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.15

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8 - 4 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.16

从 $8$ 中减去 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.17

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 4 - 2 \cdot 0)$

解题步骤 14.4.18

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 4 + 0)$

解题步骤 14.4.19

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 + 4)$

解题步骤 14.4.20

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (8)$

解题步骤 15

化简分母。

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解题步骤 15.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot 8$

解题步骤 15.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 8$

解题步骤 16

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (4))$

解题步骤 16.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

解题步骤 16.3

重写表达式。

$A (x) = 4$

解题步骤 17

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