微积分学示例

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5$

解题步骤 1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

根据加法法则， $4 x^{3} - x^{4} + x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.3.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.4.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

解题步骤 1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.5.1

将 $12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$ 和 $0$ 相加。

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$

解题步骤 1.5.2

重新排序项。

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

解题步骤 2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx 3.02727941$

解题步骤 3

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, 3.02727941)$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = - 4 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 4.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = - 4 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 4.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

解题步骤 4.2.1.4

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 0 + 1$

解题步骤 4.2.2

通过加上各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f' (0) = 0 + 1$

解题步骤 4.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f' (0) = 1$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 5

将区间 $(3.02727941, \infty)$ 内的任一数字（例如 $6$ ）代入一阶导数 $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6) = - 4 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} + 1$

解题步骤 5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (6) = - 4 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} + 1$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $216$ 。

$f' (6) = - 864 + 12 {(6)}^{2} + 1$

解题步骤 5.2.1.3

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (6) = - 864 + 12 \cdot 36 + 1$

解题步骤 5.2.1.4

将 $12$ 乘以 $36$ 。

$f' (6) = - 864 + 432 + 1$

解题步骤 5.2.2

通过加上各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

将 $- 864$ 和 $432$ 相加。

$f' (6) = - 432 + 1$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 432$ 和 $1$ 相加。

$f' (6) = - 431$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 431$ 。

$- 431$

解题步骤 6

由于一阶导数在 $x = 3.02727941$ 附近符号由正变为负，所以在 $x = 3.02727941$ 处有一个拐点。

解题步骤 7

求 $3.02727941$ 的 y 坐标以求拐点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

求 $f (3.02727941)$ 以求出 $3.02727941$ 的 y 坐标。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

使用表达式中的 $3.02727941$ 替换变量 $x$ 。

$f (3.02727941) = 4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

解题步骤 7.1.2

化简 $4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.2.1

去掉圆括号。

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

解题步骤 7.1.2.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.2.2.1

对 $3.02727941$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \cdot 27.7432619 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

解题步骤 7.1.2.2.2

将 $4$ 乘以 $27.7432619$ 。

$110.9730476 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

解题步骤 7.1.2.2.3

对 $3.02727941$ 进行 $4$ 次方运算。

$110.9730476 - 1 \cdot 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

解题步骤 7.1.2.2.4

将 $- 1$ 乘以 $83.98660555$ 。

$110.9730476 - 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

解题步骤 7.1.2.3

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.2.3.1

从 $110.9730476$ 中减去 $83.98660555$ 。

$26.98644204 + 3.02727941 + 5$

解题步骤 7.1.2.3.2

将 $26.98644204$ 和 $3.02727941$ 相加。

$30.01372146 + 5$

解题步骤 7.1.2.3.3

将 $30.01372146$ 和 $5$ 相加。

$35.01372146$

解题步骤 7.2

以点的形式写出 $x$ 和 $y$ 坐标。

$(3.02727941, 35.01372146)$

解题步骤 8

输入您的问题

微积分学 示例

微积分学示例