微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{10^{x}} + 4$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{1}{10^{x}} + 4$ 无定义。

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

解题步骤 3.1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

解题步骤 3.1.1.2.1.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

解题步骤 3.1.1.2.2

因为函数 $10^{x}$ 趋于 $\infty$ ，所以正常数 $4$ 乘以函数也趋于 $\infty$ 。

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解题步骤 3.1.1.2.2.1

思考去掉常数倍数 $4$ 后的极限。

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

解题步骤 3.1.1.2.2.2

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $10^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{1 + \infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

解题步骤 3.1.1.2.3

无穷大加上或减去一个数结果为无穷大。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

解题步骤 3.1.1.3

因为指数 $x$ 趋于 $\infty$ ，所以数量 $10^{x}$ 趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.1.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.1.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

解题步骤 3.1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

解题步骤 3.1.3.2

根据加法法则， $1 + 4 \cdot 10^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

解题步骤 3.1.3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

解题步骤 3.1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ 。

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解题步骤 3.1.3.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \cdot 10^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [10^{x}]$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \frac{d}{d x} [10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

解题步骤 3.1.3.4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $10$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

解题步骤 3.1.3.5

将 $0$ 和 $4 \cdot 10^{x} \ln (10)$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

解题步骤 3.1.3.6

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $10$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

解题步骤 3.1.4

简化。

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解题步骤 3.1.4.1

约去 $10^{x}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.4.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

解题步骤 3.1.4.1.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

解题步骤 3.1.4.2

约去 $\ln (10)$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.4.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

解题步骤 3.1.4.2.2

用 $4$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} 4$

解题步骤 3.2

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$4$

解题步骤 4

列出水平渐近线：

$y = 4$

解题步骤 5

因为分子的次数小于或等于分母的次数，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

水平渐近线： $y = 4$

不存在斜渐近线

解题步骤 7

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