微积分学 示例

求局部极大值与局部极小值
解题步骤 1
求函数的一阶导数。
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解题步骤 1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.2
计算
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解题步骤 1.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.2.3
乘以
解题步骤 1.3
计算
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解题步骤 1.3.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.3.3
乘以
解题步骤 1.4
使用常数法则求导。
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解题步骤 1.4.1
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 1.4.2
相加。
解题步骤 2
求函数的二阶导数。
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解题步骤 2.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 2.2
计算
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解题步骤 2.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 2.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 2.2.3
乘以
解题步骤 2.3
使用常数法则求导。
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解题步骤 2.3.1
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 2.3.2
相加。
解题步骤 3
要求函数的极大值与极小值,请将导数设为等于 并求解。
解题步骤 4
求一阶导数。
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解题步骤 4.1
求一阶导数。
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解题步骤 4.1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 4.1.2
计算
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解题步骤 4.1.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 4.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 4.1.2.3
乘以
解题步骤 4.1.3
计算
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解题步骤 4.1.3.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 4.1.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 4.1.3.3
乘以
解题步骤 4.1.4
使用常数法则求导。
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解题步骤 4.1.4.1
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 4.1.4.2
相加。
解题步骤 4.2
的一阶导数是
解题步骤 5
将一阶导数设为等于 ,然后求解方程
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解题步骤 5.1
将一阶导数设为等于
解题步骤 5.2
在等式两边都加上
解题步骤 5.3
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 5.3.1
中的每一项都除以
解题步骤 5.3.2
化简左边。
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解题步骤 5.3.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 5.3.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 5.3.2.1.2
除以
解题步骤 6
求使导数无意义的值。
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解题步骤 6.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
解题步骤 7
要计算的驻点。
解题步骤 8
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 9
因为二阶导数的值为正数,所以 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极小值
解题步骤 10
时的 y 值。
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解题步骤 10.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 10.2
化简结果。
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解题步骤 10.2.1
化简每一项。
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解题步骤 10.2.1.1
运用乘积法则。
解题步骤 10.2.1.2
进行 次方运算。
解题步骤 10.2.1.3
进行 次方运算。
解题步骤 10.2.1.4
约去 的公因数。
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解题步骤 10.2.1.4.1
中分解出因数
解题步骤 10.2.1.4.2
约去公因数。
解题步骤 10.2.1.4.3
重写表达式。
解题步骤 10.2.1.5
乘以
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解题步骤 10.2.1.5.1
组合
解题步骤 10.2.1.5.2
乘以
解题步骤 10.2.1.6
将负号移到分数的前面。
解题步骤 10.2.2
求公分母。
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解题步骤 10.2.2.1
乘以
解题步骤 10.2.2.2
乘以
解题步骤 10.2.2.3
写成分母为 的分数。
解题步骤 10.2.2.4
乘以
解题步骤 10.2.2.5
乘以
解题步骤 10.2.2.6
重新排序 的因式。
解题步骤 10.2.2.7
乘以
解题步骤 10.2.3
在公分母上合并分子。
解题步骤 10.2.4
化简表达式。
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解题步骤 10.2.4.1
乘以
解题步骤 10.2.4.2
中减去
解题步骤 10.2.4.3
相加。
解题步骤 10.2.5
最终答案为
解题步骤 11
这些是 的局部极值。
是一个局部最小值
解题步骤 12
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