微积分学示例

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$

解题步骤 1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$

解题步骤 1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 1.2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$12 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 8]$

解题步骤 1.2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.2.4.1

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x^{2} + 12 x + 0$

解题步骤 1.2.4.2

将 $12 x^{2} + 12 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 x$

解题步骤 1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $12 x^{2} + 12 x$ 。

$12 x^{2} + 12 x$

解题步骤 2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x^{2} + 12 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x^{2} + 12 x = 0$

解题步骤 2.2

从 $12 x^{2} + 12 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $12 x^{2}$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x) + 12 x = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $12 x$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x) + 12 x (1) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $12 x (x) + 12 x (1)$ 中分解出因数 $12 x$ 。

$12 x (x + 1) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.6

最终解为使 $12 x (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 1$

解题步骤 3

求二阶导数为 $0$ 的点。

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解题步骤 3.1

将 $0$ 代入 $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

解题步骤 3.1.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 1$

解题步骤 3.1.2.1.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0 + 1$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $- 8$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 1$

解题步骤 3.1.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0 + 1$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 1$

解题步骤 3.1.2.2.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = 1$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 3.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ 中求得的点为 $(0, 1)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, 1)$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 代入 $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ 以求 $y$ 的值。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- 1) = 1 + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

解题步骤 3.3.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1 + 1$

解题步骤 3.3.2.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = 1 - 2 - 8 \cdot - 1 + 1$

解题步骤 3.3.2.1.4

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- 1) = 1 - 2 + 8 + 1$

解题步骤 3.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.3.2.2.1

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f (- 1) = - 1 + 8 + 1$

解题步骤 3.3.2.2.2

将 $- 1$ 和 $8$ 相加。

$f (- 1) = 7 + 1$

解题步骤 3.3.2.2.3

将 $7$ 和 $1$ 相加。

$f (- 1) = 8$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $8$ 。

$8$

解题步骤 3.4

通过将 $- 1$ 代入 $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ 中求得的点为 $(- 1, 8)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(- 1, 8)$

解题步骤 3.5

确定可能是拐点的点。

$(0, 1), (- 1, 8)$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 1)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 1.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} + 12 (- 1.1)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 1.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 + 12 (- 1.1)$

解题步骤 5.2.1.2

将 $12$ 乘以 $1.21$ 。

$f'' (- 1.1) = 14.52 + 12 (- 1.1)$

解题步骤 5.2.1.3

将 $12$ 乘以 $- 1.1$ 。

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 13.2$

解题步骤 5.2.2

从 $14.52$ 中减去 $13.2$ 。

$f'' (- 1.1) = 1.32$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $1.32$ 。

$1.32$

解题步骤 5.3

在 $- 1.1$ 处，二阶导数为 $1.32$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(- \infty, - 1)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 1)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 1, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 12 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.2.1.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 12 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.3

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.4

一的任意次幂都为一。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.6

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.6.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.6.2

约去公因数。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 12 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.6.3

重写表达式。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.1.7

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.7.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (\frac{- 1}{2})$

解题步骤 6.2.1.7.2

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 (6) (\frac{- 1}{2})$

解题步骤 6.2.1.7.3

约去公因数。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 \cdot (6 (\frac{- 1}{2}))$

解题步骤 6.2.1.7.4

重写表达式。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 6 \cdot - 1$

解题步骤 6.2.1.8

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 - 6$

解题步骤 6.2.2

从 $3$ 中减去 $6$ 。

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 3$ 。

$- 3$

解题步骤 6.3

在 $- \frac{1}{2}$ ，二阶导数为 $- 3$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- 1, 0)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- 1, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0.1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

解题步骤 7.2.1.2

将 $12$ 乘以 $0.01$ 。

$f'' (0.1) = 0.12 + 12 (0.1)$

解题步骤 7.2.1.3

将 $12$ 乘以 $0.1$ 。

$f'' (0.1) = 0.12 + 1.2$

解题步骤 7.2.2

将 $0.12$ 和 $1.2$ 相加。

$f'' (0.1) = 1.32$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $1.32$ 。

$1.32$

解题步骤 7.3

在 $0.1$ 处，二阶导数为 $1.32$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

拐点是凹凸性符号发生变化的曲线上的一个点，符号由正变为负，或是由负变为正。在本例中，拐点为 $(- 1, 8), (0, 1)$ 。

$(- 1, 8), (0, 1)$

解题步骤 9

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