Lượng giác Ví dụ

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Bước 1

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = \cos^{2} (y) - \sin^{2} (y)$

Bước 2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại phương trình ở dạng $\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) = x$ .

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) = x$

Bước 2.2

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\cos^{2} (y) - \sin^{2} (y) - x = 0$

Bước 2.3

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho cosin.

$\cos (2 y) - x = 0$

Bước 2.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Cộng $x$ cho cả hai vế của phương trình.

$\cos (2 y) = x$

Bước 2.4.2

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong cosin.

$2 y = \arccos (x)$

Bước 2.4.3

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \arccos (x)$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 y = \arccos (x)$ cho $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

Bước 2.4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\arccos (x)}{2}$

Bước 2.4.3.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\arccos (x)}{2}$

Bước 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$

Bước 4

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để kiểm tra có phải là hàm ngược không, ta kiểm tra xem $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ không.

Bước 4.2

Tính $f^{- 1} (f (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Lập hàm hợp.

$f^{- 1} (f (x))$

Bước 4.2.2

Tính $f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$ bằng cách thay giá trị của $f$ vào $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \frac{\arccos (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))}{2}$

Bước 4.2.3

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho cosin.

$f^{- 1} (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) = \frac{\arccos (\cos (2 x))}{2}$

Bước 4.3

Tính $f (f^{- 1} (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Lập hàm hợp.

$f (f^{- 1} (x))$

Bước 4.3.2

Tính $f (\frac{\arccos (x)}{2})$ bằng cách thay giá trị của $f^{- 1}$ vào $f$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin^{2} (\frac{\arccos (x)}{2})$

Bước 4.3.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ và $b = \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Bước 4.3.4

Khai triển $(\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Bước 4.3.4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Bước 4.3.4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Bước 4.3.5

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2})) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$ và $\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) - \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) + \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Bước 4.3.5.1.2

Cộng $- \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ và $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + 0 + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Bước 4.3.5.1.3

Cộng $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ và $0$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Bước 4.3.5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.2.1

Nhân $\cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.2.1.1

Nâng $\cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ lên lũy thừa $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Bước 4.3.5.2.1.2

Nâng $\cos (\frac{\arccos (x)}{2})$ lên lũy thừa $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) \cos (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Bước 4.3.5.2.1.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = {\cos (\frac{\arccos (x)}{2})}^{1 + 1} + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Bước 4.3.5.2.1.4

Cộng $1$ và $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) + \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) (- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Bước 4.3.5.2.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$

Bước 4.3.5.2.3

Nhân $- \sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.2.3.1

Nâng $\sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ lên lũy thừa $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - (\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Bước 4.3.5.2.3.2

Nâng $\sin (\frac{\arccos (x)}{2})$ lên lũy thừa $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - (\sin (\frac{\arccos (x)}{2}) \sin (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Bước 4.3.5.2.3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - {\sin (\frac{\arccos (x)}{2})}^{1 + 1}$

Bước 4.3.5.2.3.4

Cộng $1$ và $1$ .

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos^{2} (\frac{\arccos (x)}{2}) - \sin^{2} (\frac{\arccos (x)}{2})$

Bước 4.3.6

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho cosin.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Bước 4.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (2 (\frac{\arccos (x)}{2}))$

Bước 4.3.7.2

Viết lại biểu thức.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = \cos (\arccos (x))$

Bước 4.3.8

Hàm cosin và arccosin là nghịch đảo.

$f (\frac{\arccos (x)}{2}) = x$

Bước 4.4

Vì $f^{- 1} (f (x)) = x$ và $f (f^{- 1} (x)) = x$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$ là hàm ngược của $f (x) = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (x)}{2}$