Giải tích sơ cấp Ví dụ

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y + 9 = 0$

Bước 1

Trừ $9$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y = - 9$

Bước 2

Hoàn thành bình phương cho $4 x^{2} - 8 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung của $- 8$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 4}{4}$

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 1}{1}$

Chia $- 1$ cho $1$ .

$d = - 1$

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Nhân $4$ với $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Chia $64$ cho $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Nhân $- 1$ với $4$ .

$e = 0 - 4$

Trừ $4$ khỏi $0$ .

$e = - 4$

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - 4$

Bước 3

Thay $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ cho $4 x^{2} - 8 x$ trong phương trình $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y = - 9$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - 4 + y^{2} + 6 y = - 9$

Bước 4

Di chuyển $- 4$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $4$ vào cả hai vế.

$4 {(x - 1)}^{2} + y^{2} + 6 y = - 9 + 4$

Bước 5

Hoàn thành bình phương cho $y^{2} + 6 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = 6$

$c = 0$

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot 1}$

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}$

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{3}{1}$

Chia $3$ cho $1$ .

$d = 3$

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot 1}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Chia $36$ cho $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Nhân $- 1$ với $9$ .

$e = 0 - 9$

Trừ $9$ khỏi $0$ .

$e = - 9$

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(y + 3)}^{2} - 9$ .

${(y + 3)}^{2} - 9$

Bước 6

Thay ${(y + 3)}^{2} - 9$ cho $y^{2} + 6 y$ trong phương trình $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 6 y = - 9$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} - 9 = - 9 + 4$

Bước 7

Di chuyển $- 9$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $9$ vào cả hai vế.

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = - 9 + 4 + 9$

Bước 8

Rút gọn $- 9 + 4 + 9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $- 9$ và $4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = - 5 + 9$

Cộng $- 5$ và $9$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$

Bước 9

Chia mỗi số hạng cho $4$ để làm cho vế phải bằng một.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = \frac{4}{4}$

Bước 10

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

${(x - 1)}^{2} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{4} = 1$