Giải tích sơ cấp Ví dụ

$(1, 2)$ , $(2, 9)$

Bước 1

Phương trình tìm góc giữa hai vectơ $θ$ nói rằng tích vô hướng của hai vectơ bằng tích độ lớn của các vectơ và cosin của góc giữa chúng.

$u \cdot v = | u | | v | c o s (θ)$

Bước 2

Giải phương trình để tìm $θ$ .

$θ = a r c \cdot c o s (\frac{u \cdot v}{| u | | v |})$

Bước 3

Tìm tích vô hướng của các vectơ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Để tìm tích vô hướng, tìm tổng của các tích thành phần tương ứng của vectơ.

$u \cdot v = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}$

Thay thành phần của các vectơ vào biểu thức.

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$1 \cdot 2 + 2 \cdot 9$

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $2$ với $1$ .

$2 + 2 \cdot 9$

Nhân $2$ với $9$ .

$2 + 18$

Cộng $2$ và $18$ .

$20$

Bước 4

Tìm độ lớn của $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để tìm độ lớn của vectơ, tìm căn bậc hai của tổng của bình phương các thành phần của vectơ.

$\sqrt{{(u_{1})}^{2} + {(u_{2})}^{2}}$

Thay các thành phần của vectơ vào biểu thức.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(2)}^{2}}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sqrt{1 + {(2)}^{2}}$

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{1 + 4}$

Cộng $1$ và $4$ .

$\sqrt{5}$

Bước 5

Tìm độ lớn của $v$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để tìm độ lớn của vectơ, tìm căn bậc hai của tổng của bình phương các thành phần của vectơ.

$\sqrt{{(u_{1})}^{2} + {(u_{2})}^{2}}$

Thay các thành phần của vectơ vào biểu thức.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(9)}^{2}}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{4 + {(9)}^{2}}$

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{4 + 81}$

Cộng $4$ và $81$ .

$\sqrt{85}$

Bước 6

Thay các giá trị vào phương trình cho góc giữa các vectơ.

$θ = \arccos (\frac{20}{(\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{85})})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{5 \cdot 85}})$

Nhân $5$ với $85$ .

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{425}})$

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $425$ ở dạng $5^{2} \cdot 17$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $25$ ra ngoài $425$ .

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{25 (17)}})$

Viết lại $25$ ở dạng $5^{2}$ .

$\arccos (\frac{20}{\sqrt{5^{2} \cdot 17}})$

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\arccos (\frac{20}{5 \sqrt{17}})$

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $5$ ra ngoài $20$ .

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $5$ ra ngoài $5 \sqrt{17}$ .

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 (\sqrt{17})})$

Triệt tiêu thừa số chung.

$\arccos (\frac{5 \cdot 4}{5 \sqrt{17}})$

Viết lại biểu thức.

$\arccos (\frac{4}{\sqrt{17}})$

Nhân $\frac{4}{\sqrt{17}}$ với $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\arccos (\frac{4}{\sqrt{17}} \cdot \frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}})$

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $\frac{4}{\sqrt{17}}$ với $\frac{\sqrt{17}}{\sqrt{17}}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{\sqrt{17} \sqrt{17}})$

Nâng $\sqrt{17}$ lên lũy thừa $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} \sqrt{17}})$

Nâng $\sqrt{17}$ lên lũy thừa $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1} {\sqrt{17}}^{1}})$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{1 + 1}})$

Cộng $1$ và $1$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{\sqrt{17}}^{2}})$

Viết lại ${\sqrt{17}}^{2}$ ở dạng $17$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{17}$ ở dạng $17^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{\frac{2}{2}}})$

Viết lại biểu thức.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17^{1}})$

Tính số mũ.

$\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$

Tính $\arccos (\frac{4 \sqrt{17}}{17})$ .

$0.24497866$