Giải tích sơ cấp Ví dụ

$f (x) = 2 x^{2} + 5$

Step 1

Viết $f (x) = 2 x^{2} + 5$ ở dạng một phương trình.

$y = 2 x^{2} + 5$

Step 2

Hoán đổi vị trí các biến.

$x = 2 y^{2} + 5$

Step 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại phương trình ở dạng $2 y^{2} + 5 = x$ .

$2 y^{2} + 5 = x$

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 y^{2} = x - 5$

Chia mỗi số hạng trong $2 y^{2} = x - 5$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $2 y^{2} = x - 5$ cho $2$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 y^{2}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

Chia $y^{2}$ cho $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 5}{2}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y^{2} = \frac{x}{2} - \frac{5}{2}$

Lấy căn bậc hai của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2} - \frac{5}{2}}$

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{x}{2} - \frac{5}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 5}{2}}$

Viết lại $\sqrt{\frac{x - 5}{2}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$

Nhân $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{2}}$ với $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Nâng $\sqrt{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Cộng $1$ và $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Viết lại biểu thức.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Tính số mũ.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{2}}{2}$

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 2}}{2}$

Sắp xếp lại các thừa số trong $\pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 5

Kiểm tra xem $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ có là hàm ngược của $f (x) = 2 x^{2} + 5$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tập xác định của hàm ngược là khoảng biến thiên của hàm số ban đầu và ngược lại. Tìm tập xác định và khoảng biến thiên của $f (x) = 2 x^{2} + 5$ và $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ rồi so sánh.

Tìm miền giá trị của $f (x) = 2 x^{2} + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Khoảng biến thiên là tập hợp của tất cả các giá trị $y$ hợp lệ. Sử dụng biểu đồ để tìm khoảng biến thiên.

Ký hiệu khoảng:

$[5, \infty)$

Tìm tập xác định của $\frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt số trong dấu căn trong $\sqrt{2 (x - 5)}$ lớn hơn hoặc bằng $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$2 (x - 5) \geq 0$

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $2 (x - 5) \geq 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $2 (x - 5) \geq 0$ cho $2$ .

$\frac{2 (x - 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (x - 5)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Chia $x - 5$ cho $1$ .

$x - 5 \geq \frac{0}{2}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $0$ cho $2$ .

$x - 5 \geq 0$

Cộng $5$ cho cả hai vế của bất đẳng thức.

$x \geq 5$

Tập xác định là tất cả các giá trị của $x$ và làm cho biểu thức xác định.

$[5, \infty)$

Tìm tập xác định của $f (x) = 2 x^{2} + 5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

$(- \infty, \infty)$

Vì tập xác định của $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ là khoảng biến thiên của $f (x) = 2 x^{2} + 5$ và khoảng biến thiên của $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ là tập xác định của $f (x) = 2 x^{2} + 5$ , nên $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$ là hàm ngược của $f (x) = 2 x^{2} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (x - 5)}}{2}$

Step 6