Giải tích Ví dụ

$\sum_{i = 1}^{\infty} (12) {(0.25)}^{i}$

Step 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân vô hạng được xác định bằng công thức $\frac{a}{1 - r}$ với $a$ là số hạng đầu và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Step 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $a_{i}$ và $a_{i + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{12 \cdot {0.25}^{i + 1}}{12 \cdot {0.25}^{i}}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $12$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{12 \cdot {0.25}^{i + 1}}{12 \cdot {0.25}^{i}}$

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{{0.25}^{i + 1}}{{0.25}^{i}}$

Triệt tiêu thừa số chung của ${0.25}^{i + 1}$ và ${0.25}^{i}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa ${0.25}^{i}$ ra ngoài ${0.25}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{0.25}^{i} \cdot 0.25}{{0.25}^{i}}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân với $1$ .

$r = \frac{{0.25}^{i} \cdot 0.25}{{0.25}^{i} \cdot 1}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{{0.25}^{i} \cdot 0.25}{{0.25}^{i} \cdot 1}$

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{0.25}{1}$

Chia $0.25$ cho $1$ .

$r = 0.25$

Step 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Step 4

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $1$ cho $i$ vào $(12) {(0.25)}^{i}$ .

$a = 12 \cdot {0.25}^{1}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính số mũ.

$a = 12 \cdot 0.25$

Nhân $12$ với $0.25$ .

$a = 3$

Step 5

Thế giá trị của công bội và của số hạng đầu vào công thức tính tổng.

$\frac{3}{1 - 0.25}$

Step 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $0.25$ khỏi $1$ .

$\frac{3}{0.75}$

Chia $3$ cho $0.75$ .

$4$