Giải tích Ví dụ

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}}$

Step 1

Tổng của một chuỗi cấp số nhân vô hạng được xác định bằng công thức $\frac{a}{1 - r}$ với $a$ là số hạng đầu và $r$ là tỉ số giữa hai số hạng kề nhau.

Step 2

Tìm tỉ số giữa các số hạng liền kề bằng cách thế vào công thức $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $a_{n}$ và $a_{n + 1}$ vào công thức cho $r$ .

$r = \frac{\frac{2^{n + 1}}{3^{n + 1}}}{\frac{2^{n}}{3^{n}}}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$r = \frac{2^{n + 1}}{3^{n + 1}} \cdot \frac{3^{n}}{2^{n}}$

Kết hợp.

$r = \frac{2^{n + 1} \cdot 3^{n}}{3^{n + 1} \cdot 2^{n}}$

Triệt tiêu thừa số chung của $2^{n + 1}$ và $2^{n}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2^{n}$ ra ngoài $2^{n + 1} \cdot 3^{n}$ .

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{3^{n + 1} \cdot 2^{n}}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2^{n}$ ra ngoài $3^{n + 1} \cdot 2^{n}$ .

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{2^{n} \cdot 3^{n + 1}}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{2^{n} (2 \cdot 3^{n})}{2^{n} \cdot 3^{n + 1}}$

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{2 \cdot 3^{n}}{3^{n + 1}}$

Triệt tiêu thừa số chung của $3^{n}$ và $3^{n + 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $3^{n + 1}$ ra ngoài $2 \cdot 3^{n}$ .

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1}}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân với $1$ .

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1} \cdot 1}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$r = \frac{3^{n + 1} (2 \cdot 3^{n - (n + 1)})}{3^{n + 1} \cdot 1}$

Viết lại biểu thức.

$r = \frac{2 \cdot 3^{n - (n + 1)}}{1}$

Chia $2 \cdot 3^{n - (n + 1)}$ cho $1$ .

$r = 2 \cdot 3^{n - (n + 1)}$

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$r = 2 \cdot 3^{n - n - 1 \cdot 1}$

Nhân $- 1$ với $1$ .

$r = 2 \cdot 3^{n - n - 1}$

Trừ $n$ khỏi $n$ .

$r = 2 \cdot 3^{0 - 1}$

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$r = 2 \cdot 3^{- 1}$

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = 2 \cdot \frac{1}{3}$

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{3}$ .

$r = \frac{2}{3}$

Step 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Step 4

Tìm số hạng đầu tiên trong chuỗi bằng cách thay biên dưới vào và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $1$ cho $n$ vào $\frac{2^{n}}{3^{n}}$ .

$a = \frac{2^{1}}{3^{1}}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính số mũ.

$a = \frac{2}{3^{1}}$

Tính số mũ.

$a = \frac{2}{3}$

Step 5

Thế giá trị của công bội và của số hạng đầu vào công thức tính tổng.

$\frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}}$

Step 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2}{3}}$

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 - 2}{3}}$

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{2}{3} (1 \cdot 3)$

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $3$ ra ngoài $1 \cdot 3$ .

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{3} (3 \cdot 1)$

Viết lại biểu thức.

$2$