Giải tích Ví dụ

$y = x^{2} + 1$ , $y = x + 3$

Step 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$x^{2} + 1 = x + 3$

Giải $x^{2} + 1 = x + 3$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + 1 - x = 3$

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + 1 - x - 3 = 0$

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$x^{2} - x - 2 = 0$

Phân tích $x^{2} - x - 2$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 2$ và tổng của chúng là $- 1$ .

$- 2, 1 + y = x + 3$

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0 + y = x + 3$

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Đặt $x + 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x + 1$ bằng với $0$ .

$x + 1 = 0$

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 1$

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 2) (x + 1) = 0$ đúng.

$x = 2, - 1$

Tính $y$ khi $x = 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $2$ bằng $x$ .

$y = (2) + 3$

Thế $2$ vào $x$ trong $y = (2) + 3$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 2 + 3$

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = (2) + 3$

Cộng $2$ và $3$ .

$y = 5$

Tính $y$ khi $x = - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $- 1$ bằng $x$ .

$y = (- 1) + 3$

Thế $- 1$ vào $x$ trong $y = (- 1) + 3$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - 1 + 3$

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = (- 1) + 3$

Cộng $- 1$ và $3$ .

$y = 2$

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(2, 5)$

$(- 1, 2)$

$(2, 5)$

$(- 1, 2)$

Step 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{- 1}^{2} x + 3 d x - \int_{- 1}^{2} x^{2} + 1 d x$

Step 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $- 1$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{- 1}^{2} x + 3 - (x^{2} + 1) d x$

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x + 3 - x^{2} - 1 \cdot 1$

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x + 3 - x^{2} - 1$

$\int_{- 1}^{2} x + 3 - x^{2} - 1 d x$

Trừ $1$ khỏi $3$ .

$\int_{- 1}^{2} x - x^{2} + 2 d x$

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - \int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 2 d x$

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 2 x]_{- 1}^{2}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}$ và $2 x]_{- 1}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 2 x]_{- 1}^{2} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2})$

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ tại $2$ và tại $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2})$

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $2$ và tại $- 1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$\frac{4}{2} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Chia $2$ cho $1$ .

$2 + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Nhân $2$ với $2$ .

$2 + 4 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Cộng $2$ và $4$ .

$6 - (\frac{1}{2} {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$6 - (\frac{1}{2} \cdot 1 + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$6 - (\frac{1}{2} + 2 \cdot - 1) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Nhân $2$ với $- 1$ .

$6 - (\frac{1}{2} - 2) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Để viết $- 2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$6 - (\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Kết hợp $- 2$ và $\frac{2}{2}$ .

$6 - (\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$6 - \frac{1 - 2 \cdot 2}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 2$ với $2$ .

$6 - \frac{1 - 4}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$6 - \frac{- 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$6 - - \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$6 + 1 (\frac{3}{2}) - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Nhân $\frac{3}{2}$ với $1$ .

$6 + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Để viết $6$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Kết hợp $6$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{6 \cdot 2 + 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $6$ với $2$ .

$\frac{12 + 3}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Cộng $12$ và $3$ .

$\frac{15}{2} - ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3})$

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3})$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} - - \frac{1}{3})$

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3}))$

Nhân $\frac{1}{3}$ với $1$ .

$\frac{15}{2} - (\frac{8}{3} + \frac{1}{3})$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{15}{2} - \frac{8 + 1}{3}$

Cộng $8$ và $1$ .

$\frac{15}{2} - \frac{9}{3}$

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{15}{2} - \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

Viết lại biểu thức.

$\frac{15}{2} - \frac{3}{1}$

Chia $3$ cho $1$ .

$\frac{15}{2} - 1 \cdot 3$

Nhân $- 1$ với $3$ .

$\frac{15}{2} - 3$

Để viết $- 3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Kết hợp $- 3$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{15}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{15 - 3 \cdot 2}{2}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 3$ với $2$ .

$\frac{15 - 6}{2}$

Trừ $6$ khỏi $15$ .

$\frac{9}{2}$

Step 4