Giải tích Ví dụ

$\sum_{n = 1}^{50} n (4 n + 3)$

Step 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$n (4 n) + n \cdot 3$

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$4 n \cdot n + n \cdot 3$

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $n$ .

$4 n \cdot n + 3 \cdot n$

Nhân $n$ với $n$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển $n$ .

$4 (n \cdot n) + 3 \cdot n$

Nhân $n$ với $n$ .

$4 n^{2} + 3 \cdot n$

$4 n^{2} + 3 n$

Viết lại tổng.

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n$

Step 2

Tách tổng thành các tổng nhỏ hơn phù hợp với quy tắc tổng.

$\sum_{n = 1}^{50} 4 n^{2} + 3 n = 4 \sum_{n = 1}^{50} n^{2} + 3 \sum_{n = 1}^{50} n$

Step 3

Tính $4 \sum_{n = 1}^{50} n^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $2$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(4) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $50$ và $1$ .

$4 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Kết hợp các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $50$ với $51$ .

$4 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

Nhân $2$ với $50$ .

$4 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

Cộng $100$ và $1$ .

$4 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $2550$ với $101$ .

$4 (\frac{257550}{6})$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 (2) \frac{257550}{6}$

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 2 \frac{257550}{2 \cdot 3}$

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{257550}{3})$

Kết hợp $2$ và $\frac{257550}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 257550}{3}$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $2$ với $257550$ .

$\frac{515100}{3}$

Chia $515100$ cho $3$ .

$171700$

Step 4

Tính $3 \sum_{n = 1}^{50} n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Công thức tính tổng của đa thức có bậc $1$ là:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(3) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $50$ và $1$ .

$3 \frac{50 \cdot 51}{2}$

Nhân $50$ với $51$ .

$3 (\frac{2550}{2})$

Chia $2550$ cho $2$ .

$3 \cdot 1275$

Nhân $3$ với $1275$ .

$3825$

Step 5

Cộng các kết quả của tổng.

$171700 + 3825$

Step 6

Cộng $171700$ và $3825$ .

$175525$