Giải tích Ví dụ

$y = 2 x - x^{2}$ , $y = x$

Step 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$2 x - x^{2} = x$

Giải $2 x - x^{2} = x$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x - x^{2} - x = 0$

Trừ $x$ khỏi $2 x$ .

$- x^{2} + x = 0$

Đưa $- x$ ra ngoài $- x^{2} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $- x$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$- x \cdot x + x = 0$

Viết lại $x$ ở dạng $1 x$ .

$- x \cdot x + 1 x = 0$

Đưa $- x$ ra ngoài $1 x$ .

$- x \cdot x - x \cdot - 1 = 0$

Đưa $- x$ ra ngoài $- x (x) - x (- 1)$ .

$- x (x - 1) = 0$

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0 + y = x$

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- x (x - 1) = 0$ đúng.

$x = 0, 1$

Tính $y$ khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $0$ bằng $x$ .

$y = 0$

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 0$

Tính $y$ khi $x = 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $1$ bằng $x$ .

$y = 1$

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 1$

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(0, 0)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(1, 1)$

Step 2

Sắp xếp lại $2 x$ và $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 2 x$

Step 3

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x d x - \int_{0}^{1} x d x$

Step 4

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $0$ và $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{0}^{1} - x^{2} + 2 x - (x) d x$

Trừ $x$ khỏi $2 x$ .

$\int_{0}^{1} - x^{2} + x d x$

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{1} - x^{2} d x + \int_{0}^{1} x d x$

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} x d x$

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x d x$

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} x d x$

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $0$ .

$- ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$

Tính $\frac{1}{2} x^{2}$ tại $1$ và tại $0$ .

$- (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Viết lại biểu thức.

$- (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Chia $0$ cho $1$ .

$- (\frac{1}{3} - 0) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- (\frac{1}{3} + 0) + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Cộng $\frac{1}{3}$ và $0$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0$

Nhân $0$ với $- 1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2})$

Nhân $0$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 0$

Cộng $\frac{1}{2}$ và $0$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$

Để viết $- \frac{1}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Để viết $\frac{1}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $6$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Nhân $3$ với $2$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3}$

Nhân $2$ với $3$ .

$- \frac{2}{6} + \frac{3}{6}$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 2 + 3}{6}$

Cộng $- 2$ và $3$ .

$\frac{1}{6}$

Step 5