Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{3}{x - 7}$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3}{x - 7}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 7}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x - 7})$

Viết lại $\frac{1}{x - 7}$ ở dạng ${(x - 7)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x - 7)}^{- 1})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x - 7$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x - 7$ .

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - 7))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x - 7$ .

$f' (x) = 3 (- {(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (x) = - 3 ({(x - 7)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 7))$

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Vì $- 7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 7$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} (1 + 0)$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $1$ và $0$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2} \cdot 1$

Nhân $- 3$ với $1$ .

$f' (x) = - 3 {(x - 7)}^{- 2}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 3 \frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{{(x - 7)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 3}{{(x - 7)}^{2}}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ .

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$

Step 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{3}{{(x - 7)}^{2}} = 0$

Cho tử bằng không.

$3 = 0$

Vì $3 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Step 3

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Step 4

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt mẫu số trong $\frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

${(x - 7)}^{2} = 0$

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x - 7$ bằng $0$ .

$x - 7 = 0$

Cộng $7$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 7$

Step 5

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 7)}^{2}}$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = \frac{3}{x - 7}$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$ .

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Step 6

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 7)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $6$ trong biểu thức.

$f' (6) = - \frac{3}{{((6) - 7)}^{2}}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $7$ khỏi $6$ .

$f' (6) = - \frac{3}{{(- 1)}^{2}}$

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (6) = - \frac{3}{1}$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $3$ cho $1$ .

$f' (6) = - 1 \cdot 3$

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (6) = - 3$

Câu trả lời cuối cùng là $- 3$ .

$- 3$

Tại $x = 6$ đạo hàm là $- 3$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, 7)$ .

Giảm trên $(- \infty, 7)$ vì $f' (x) < 0$

Step 7

Thay một giá trị từ khoảng $(7, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $8$ trong biểu thức.

$f' (8) = - \frac{3}{{((8) - 7)}^{2}}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $7$ khỏi $8$ .

$f' (8) = - \frac{3}{1^{2}}$

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (8) = - \frac{3}{1}$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $3$ cho $1$ .

$f' (8) = - 1 \cdot 3$

Nhân $- 1$ với $3$ .

$f' (8) = - 3$

Câu trả lời cuối cùng là $- 3$ .

$- 3$

Tại $x = 8$ đạo hàm là $- 3$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(7, \infty)$ .

Giảm trên $(7, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Step 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Giảm trên: $(- \infty, 7), (7, \infty)$

Step 9