Giải tích Ví dụ

$f (x) = - x^{3} + 9 x^{2} - 52$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x^{3} + 9 x^{2} - 52$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Nhân $3$ với $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Tính $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $9 x^{2}$ đối với $x$ là $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 52)$

Nhân $2$ với $9$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} (- 52)$

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 52$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 52$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 0$

Cộng $- 3 x^{2} + 18 x$ và $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- 3 x^{2} + 18 x$ .

$- 3 x^{2} + 18 x$

Step 2

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- 3 x^{2} + 18 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- 3 x^{2} + 18 x = 0$

Đưa $- 3 x$ ra ngoài $- 3 x^{2} + 18 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $- 3 x$ ra ngoài $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x \cdot x + 18 x = 0$

Đưa $- 3 x$ ra ngoài $18 x$ .

$- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 6 = 0$

Đưa $- 3 x$ ra ngoài $- 3 x (x) - 3 x (- 6)$ .

$- 3 x (x - 6) = 0$

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Đặt $x - 6$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x - 6$ bằng với $0$ .

$x - 6 = 0$

Cộng $6$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 6$

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $- 3 x (x - 6) = 0$ đúng.

$x = 0, 6$

Step 3

Các giá trị làm cho đạo hàm bằng $0$ là $0, 6$ .

$0, 6$

Step 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, 6) \cup (6, \infty)$

Step 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f' (- 1) = - 3 {(- 1)}^{2} + 18 (- 1)$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (- 1) = - 3 \cdot 1 + 18 (- 1)$

Nhân $- 3$ với $1$ .

$f' (- 1) = - 3 + 18 (- 1)$

Nhân $18$ với $- 1$ .

$f' (- 1) = - 3 - 18$

Trừ $18$ khỏi $- 3$ .

$f' (- 1) = - 21$

Câu trả lời cuối cùng là $- 21$ .

$- 21$

Tại $x = - 1$ đạo hàm là $- 21$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(- \infty, 0)$ .

Giảm trên $(- \infty, 0)$ vì $f' (x) < 0$

Step 6

Thay một giá trị từ khoảng $(0, 6)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $3$ trong biểu thức.

$f' (3) = - 3 {(3)}^{2} + 18 (3)$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $3$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (3) = - 3 \cdot 9 + 18 (3)$

Nhân $- 3$ với $9$ .

$f' (3) = - 27 + 18 (3)$

Nhân $18$ với $3$ .

$f' (3) = - 27 + 54$

Cộng $- 27$ và $54$ .

$f' (3) = 27$

Câu trả lời cuối cùng là $27$ .

$27$

Tại $x = 3$ đạo hàm là $27$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(0, 6)$ .

Tăng trên $(0, 6)$ vì $f' (x) > 0$

Step 7

Thay một giá trị từ khoảng $(6, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $7$ trong biểu thức.

$f' (7) = - 3 {(7)}^{2} + 18 (7)$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $7$ lên lũy thừa $2$ .

$f' (7) = - 3 \cdot 49 + 18 (7)$

Nhân $- 3$ với $49$ .

$f' (7) = - 147 + 18 (7)$

Nhân $18$ với $7$ .

$f' (7) = - 147 + 126$

Cộng $- 147$ và $126$ .

$f' (7) = - 21$

Câu trả lời cuối cùng là $- 21$ .

$- 21$

Tại $x = 7$ đạo hàm là $- 21$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(6, \infty)$ .

Giảm trên $(6, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Step 8

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(0, 6)$

Giảm trên: $(- \infty, 0), (6, \infty)$

Step 9