Giải tích Ví dụ

$f (x) = x (x - 9 \sqrt{x})$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x - 9 x^{\frac{1}{2}}))$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x - 9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - 9 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = x (1 + \frac{d}{d x} (- 9 x^{\frac{1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.3.3

Vì $- 9$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $- 9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = x (1 - 9 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.8

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = x (1 - 9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.8.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (1 - 9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.8.3

Kết hợp $- 9$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = x (1 + \frac{- 9 x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.8.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.8.4.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (1 + \frac{- 9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.8.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = x (1 - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x)$

Bước 1.1.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = x (1 - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + (x - 9 x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1$

Bước 1.1.10

Nhân $x - 9 x^{\frac{1}{2}}$ với $1$ .

$f' (x) = x (1 - \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.1.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.11.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f' (x) = x \cdot 1 + x (- \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.1.11.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.11.2.1

Nhân $x$ với $1$ .

$f' (x) = x + x (- \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.1.11.2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = x - \frac{x \cdot 9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.1.11.2.3

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $x$ .

$f' (x) = x - \frac{9 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.1.11.2.4

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang tử số bằng quy tắc số mũ âm $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = x - \frac{9 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.1.11.2.5

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.11.2.5.1

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x - \frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.1.11.2.5.2

Nhân $x^{- \frac{1}{2}}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.11.2.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = x - \frac{9 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.1.11.2.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = x - \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.1.11.2.5.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f' (x) = x - \frac{9 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.1.11.2.5.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = x - \frac{9 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.1.11.2.5.5

Cộng $- 1$ và $2$ .

$f' (x) = x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + x - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.1.11.2.6

Cộng $x$ và $x$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9 x^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.1.11.2.7

Để viết $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 9 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Bước 1.1.11.2.8

Kết hợp $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 x - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Bước 1.1.11.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f' (x) = 2 x + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} - 9 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Bước 1.1.11.2.10

Nhân $2$ với $- 9$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}} - 18 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 1.1.11.2.11

Trừ $18 x^{\frac{1}{2}}$ khỏi $- 9 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 x + \frac{- 27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 1.1.11.2.12

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = 2 x - \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x - \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Bước 1.2.2

Tính $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Bước 1.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Bước 1.2.2.3

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Bước 1.2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Vì $- \frac{27}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{27 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ đối với $x$ là $- \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Bước 1.2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Bước 1.2.3.3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Bước 1.2.3.4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.2.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Bước 1.2.3.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Bước 1.2.3.6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Bước 1.2.3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Bước 1.2.3.8

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Bước 1.2.3.9

Nhân $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ với $\frac{27}{2}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 27}{2 \cdot 2}$

Bước 1.2.3.10

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 27}{4}$

Bước 1.2.3.11

Di chuyển $27$ sang phía bên trái của $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Bước 1.2.3.12

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 1.3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 2

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$2 - \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Bước 2.2

Trừ $2$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = - 2$

Bước 2.3

Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của các số hạng trong phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Tìm MCNN của các giá trị cũng giống như tìm BCNN của các mẫu số của các giá trị đó.

$4 x^{\frac{1}{2}}, 1$

Bước 2.3.2

BCNN của một và bất kỳ biểu thức nào chính là biểu thức đó.

$4 x^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.4

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = - 2$ với $4 x^{\frac{1}{2}}$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Nhân mỗi số hạng trong $- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} = - 2$ với $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}} (4 x^{\frac{1}{2}}) = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $4 x^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.2.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{27}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ vào tử số.

$\frac{- 27}{4 x^{\frac{1}{2}}} (4 x^{\frac{1}{2}}) = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.4.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 27}{4 x^{\frac{1}{2}}} (4 x^{\frac{1}{2}}) = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.4.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$- 27 = - 2 (4 x^{\frac{1}{2}})$

Bước 2.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Nhân $4$ với $- 2$ .

$- 27 = - 8 x^{\frac{1}{2}}$

Bước 2.5

Giải phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$ .

$- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$

Bước 2.5.2

Chia mỗi số hạng trong $- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$ cho $- 8$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 8 x^{\frac{1}{2}} = - 27$ cho $- 8$ .

$\frac{- 8 x^{\frac{1}{2}}}{- 8} = \frac{- 27}{- 8}$

Bước 2.5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 8 x^{\frac{1}{2}}}{- 8} = \frac{- 27}{- 8}$

Bước 2.5.2.2.2

Chia $x^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 27}{- 8}$

Bước 2.5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.2.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{27}{8}$

Bước 2.5.3

Lấy mũ lũy thừa $2$ hai vế để khử mũ phân số vế bên trái.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Bước 2.5.4

Rút gọn biểu thức mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1.1

Rút gọn ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1.1.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Bước 2.5.4.1.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.1.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Bước 2.5.4.1.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$x^{1} = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Bước 2.5.4.1.1.2

Rút gọn.

$x = {(\frac{27}{8})}^{2}$

Bước 2.5.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.2.1

Rút gọn ${(\frac{27}{8})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.4.2.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{27}{8}$ .

$x = \frac{27^{2}}{8^{2}}$

Bước 2.5.4.2.1.2

Nâng $27$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{729}{8^{2}}$

Bước 2.5.4.2.1.3

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$x = \frac{729}{64}$

Bước 3

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bậc hai là $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thay $\frac{729}{64}$ trong $f (x) = x (x - 9 \sqrt{x})$ để tìm giá trị của $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{729}{64}$ trong biểu thức.

$f (\frac{729}{64}) = (\frac{729}{64}) ((\frac{729}{64}) - 9 \sqrt{\frac{729}{64}})$

Bước 3.1.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Viết lại $\sqrt{\frac{729}{64}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{729}}{\sqrt{64}}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{\sqrt{729}}{\sqrt{64}})$

Bước 3.1.2.1.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.2.1

Viết lại $729$ ở dạng $27^{2}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{\sqrt{27^{2}}}{\sqrt{64}})$

Bước 3.1.2.1.2.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{27}{\sqrt{64}})$

Bước 3.1.2.1.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.3.1

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 \frac{27}{\sqrt{8^{2}}})$

Bước 3.1.2.1.3.2

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - 9 (\frac{27}{8}))$

Bước 3.1.2.1.4

Nhân $- 9 (\frac{27}{8})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.4.1

Kết hợp $- 9$ và $\frac{27}{8}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} + \frac{- 9 \cdot 27}{8})$

Bước 3.1.2.1.4.2

Nhân $- 9$ với $27$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} + \frac{- 243}{8})$

Bước 3.1.2.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243}{8})$

Bước 3.1.2.2

Để viết $- \frac{243}{8}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243}{8} \cdot \frac{8}{8})$

Bước 3.1.2.3

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $64$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.3.1

Nhân $\frac{243}{8}$ với $\frac{8}{8}$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243 \cdot 8}{8 \cdot 8})$

Bước 3.1.2.3.2

Nhân $8$ với $8$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (\frac{729}{64} - \frac{243 \cdot 8}{64})$

Bước 3.1.2.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot \frac{729 - 243 \cdot 8}{64}$

Bước 3.1.2.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.5.1

Nhân $- 243$ với $8$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot \frac{729 - 1944}{64}$

Bước 3.1.2.5.2

Trừ $1944$ khỏi $729$ .

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot \frac{- 1215}{64}$

Bước 3.1.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f (\frac{729}{64}) = \frac{729}{64} \cdot (- \frac{1215}{64})$

Bước 3.1.2.7

Nhân $\frac{729}{64} (- \frac{1215}{64})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.7.1

Nhân $\frac{729}{64}$ với $\frac{1215}{64}$ .

$f (\frac{729}{64}) = - \frac{729 \cdot 1215}{64 \cdot 64}$

Bước 3.1.2.7.2

Nhân $729$ với $1215$ .

$f (\frac{729}{64}) = - \frac{885735}{64 \cdot 64}$

Bước 3.1.2.7.3

Nhân $64$ với $64$ .

$f (\frac{729}{64}) = - \frac{885735}{4096}$

Bước 3.1.2.8

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{885735}{4096}$ .

$- \frac{885735}{4096}$

Bước 3.2

Tìm điểm bằng cách thay thế $\frac{729}{64}$ trong $f (x) = x (x - 9 \sqrt{x})$ là $(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$ . Điểm này có thể là một điểm uốn.

$(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$

Bước 4

Tách $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng xung quanh các điểm có khả năng là các điểm uốn.

$(- \infty, \frac{729}{64}) \cup (\frac{729}{64}, \infty)$

Bước 5

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, \frac{729}{64})$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay thế biến $x$ bằng $11.290625$ trong biểu thức.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 {(11.290625)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Viết lại $11.290625$ ở dạng ${3.36015252}^{2}$ .

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {({3.36015252}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 5.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.36015252}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 5.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.36015252}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 5.2.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.36015252}$

Bước 5.2.1.1.4

Tính số mũ.

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.36015252}$

Bước 5.2.1.2

Nhân $4$ với $3.36015252$ .

$f'' (11.290625) = 2 - \frac{27}{13.4406101}$

Bước 5.2.1.3

Chia $27$ cho $13.4406101$ .

$f'' (11.290625) = 2 - 1 \cdot 2.00883738$

Bước 5.2.1.4

Nhân $- 1$ với $2.00883738$ .

$f'' (11.290625) = 2 - 2.00883738$

Bước 5.2.2

Trừ $2.00883738$ khỏi $2$ .

$f'' (11.290625) = - 0.00883738$

Bước 5.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $- 0.00883738$ .

$- 0.00883738$

Bước 5.3

Tại $11.290625$ , đạo hàm bậc hai là $- 0.00883738$ . Bởi vì đây là số âm, đạo hàm bậc hai giảm trên khoảng $(- \infty, \frac{729}{64})$

Giảm trên $(- \infty, \frac{729}{64})$ vì $f'' (x) < 0$

Bước 6

Thay một giá trị từ khoảng $(\frac{729}{64}, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Thay thế biến $x$ bằng $11.490625$ trong biểu thức.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 {(11.490625)}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.1

Viết lại $11.490625$ ở dạng ${3.38978244}^{2}$ .

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {({3.38978244}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.2.1.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.38978244}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 6.2.1.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot {3.38978244}^{2 (\frac{1}{2})}}$

Bước 6.2.1.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.38978244}$

Bước 6.2.1.1.4

Tính số mũ.

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{4 \cdot 3.38978244}$

Bước 6.2.1.2

Nhân $4$ với $3.38978244$ .

$f'' (11.490625) = 2 - \frac{27}{13.55912976}$

Bước 6.2.1.3

Chia $27$ cho $13.55912976$ .

$f'' (11.490625) = 2 - 1 \cdot 1.99127823$

Bước 6.2.1.4

Nhân $- 1$ với $1.99127823$ .

$f'' (11.490625) = 2 - 1.99127823$

Bước 6.2.2

Trừ $1.99127823$ khỏi $2$ .

$f'' (11.490625) = 0.00872176$

Bước 6.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0.00872176$ .

$0.00872176$

Bước 6.3

Tại $11.490625$ , đạo hàm bậc hai là $0.00872176$ . Vì số này dương, đạo hàm bậc hai tăng trên khoảng $(\frac{729}{64}, \infty)$ .

Tăng trên $(\frac{729}{64}, \infty)$ vì $f'' (x) > 0$

Bước 7

Điểm uốn là điểm nằm trên đường cong mà tại đó độ lõm đổi dấu từ cộng sang trừ hoặc từ trừ sang cộng. Điểm uốn trong trường hợp này là $(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$ .

$(\frac{729}{64}, - \frac{885735}{4096})$

Bước 8