Giải tích Ví dụ

$e^{7 x}$

Step 1

Viết $e^{7 x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = e^{7 x}$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 7 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $7 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (7 x)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (7 x)$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 x$ .

$f' (x) = e^{7 x} \frac{d}{d x} (7 x)$

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $7$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $7 x$ đối với $x$ là $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} (x))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = e^{7 x} (7 \cdot 1)$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $7$ với $1$ .

$f' (x) = e^{7 x} \cdot 7$

Di chuyển $7$ sang phía bên trái của $e^{7 x}$ .

$f' (x) = 7 e^{7 x}$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $7 e^{7 x}$ .

$7 e^{7 x}$

Step 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $7 e^{7 x} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$7 e^{7 x} = 0$

Lấy logarit tự nhiên của cả hai vế của phương trình để loại bỏ biến khỏi số mũ.

$\ln (7 e^{7 x}) = \ln (0)$

Không thể giải phương trình vì $\ln (0)$ không xác định.

Không xác định

Không có đáp án nào cho $7 e^{7 x} = 0$

Không có đáp án

Step 4

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Step 5

Không có điểm nào làm cho đạo hàm $f' (x) = 7 e^{7 x}$ bằng $0$ hoặc không xác định. Khoảng được sử dụng để kiểm tra xem $f (x) = e^{7 x}$ tăng hay giảm là $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Step 6

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $1$ , từ khoảng $(- \infty, \infty)$ trong đạo hàm $f' (x) = 7 e^{7 x}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương. Nếu kết quả là âm, thì biểu đồ giảm trên khoảng $(- \infty, \infty)$ . Nếu kết quả là dương, thì biểu đồ tăng trên khoảng $(- \infty, \infty)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = 7 e^{7 (1)}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $7$ với $1$ .

$f' (1) = 7 e^{7}$

Câu trả lời cuối cùng là $7 e^{7}$ .

$7 e^{7}$

Step 7

Kết quả của việc thay thế $1$ thành $f' (x) = 7 e^{7 x}$ là $7 e^{7}$ , là dương, do đó đồ thị tăng trong khoảng $(- \infty, \infty)$ .

Tăng trên $(- \infty, \infty)$ vì $7 e^{7 x} > 0$

Step 8

Tăng trong khoảng $(- \infty, \infty)$ có nghĩa là hàm luôn tăng.

Luôn tăng

Step 9