Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{x^{2}}$

Bước 1

Viết $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2 \cdot - 1})$

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 2})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 2$ .

$f' (x) = - 2 x^{- 3}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{x^{3}}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $- \frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{2}{x^{3}}$

Bước 3

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $- \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$- \frac{2}{x^{3}} = 0$

Cho tử bằng không.

$2 = 0$

Vì $2 \neq 0$ , nên không có đáp án.

Không có đáp án

Bước 4

Không có giá trị nào của $x$ trong tập xác định của bài toán ban đầu có đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định.

Không tìm được điểm cực trị nào

Bước 5

Tìm nơi đạo hàm không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt mẫu số trong $\frac{2}{x^{3}}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$x^{3} = 0$

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Rút gọn $\sqrt[3]{0}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $0$ ở dạng $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực.

$x = 0$

Bước 6

Sau khi tìm điểm khiến cho đạo hàm $f' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$ bằng với $0$ hoặc không xác định, sử dụng khoảng để kiểm tra nơi $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ tăng và nơi nó giảm là $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Bước 7

Thay một giá trị từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $- 1$ trong biểu thức.

$f' (- 1) = - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$f' (- 1) = - \frac{2}{- 1}$

Chia $2$ cho $- 1$ .

$f' (- 1) = 2$

Câu trả lời cuối cùng là $2$ .

$2$

Tại $x = - 1$ đạo hàm là $2$ . Vì đây là số dương, hàm số tăng trên $(- \infty, 0)$ .

Tăng trên $(- \infty, 0)$ vì $f' (x) > 0$

Bước 8

Thay một giá trị từ khoảng $(0, \infty)$ vào đạo hàm để xác định xem hàm số tăng hay giảm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f' (1) = - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f' (1) = - \frac{2}{1}$

Chia $2$ cho $1$ .

$f' (1) = - 1 \cdot 2$

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f' (1) = - 2$

Câu trả lời cuối cùng là $- 2$ .

$- 2$

Tại $x = 1$ đạo hàm là $- 2$ . Vì đây là số âm, hàm số giảm trên $(0, \infty)$ .

Giảm trên $(0, \infty)$ vì $f' (x) < 0$

Bước 9

Liệt kê các khoảng trong đó hàm tăng và giảm.

Tăng trên: $(- \infty, 0)$

Giảm trên: $(0, \infty)$

Bước 10