Giải tích Ví dụ

$\ln (x^{2} + 16)$

Step 1

Viết $\ln (x^{2} + 16)$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \ln (x^{2} + 16)$

Step 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = x^{2} + 16$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} + 16$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 16$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)$

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 16$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (16))$

Vì $16$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $16$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x + 0)$

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 16} \cdot (2 x)$

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x^{2} + 16}$ .

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 16} \cdot x$

Kết hợp $\frac{2}{x^{2} + 16}$ và $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 16}$

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 x}{x^{2} + 16}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 16})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x^{2} + 16$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Nhân $x^{2} + 16$ với $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 16$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Vì $16$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $16$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}})$

Kết hợp $2$ và $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Nhân $2$ với $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

Cho tử bằng không.

$- 2 x^{2} + 32 = 0$

Giải phương trình để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $32$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 2 x^{2} = - 32$

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x^{2} = - 32$ cho $- 2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $- 2 x^{2} = - 32$ cho $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $- 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 32}{- 2}$

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 32}{- 2}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $- 32$ cho $- 2$ .

$x^{2} = 16$

Lấy căn bậc hai của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{16}$

Rút gọn $\pm \sqrt{16}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 4$

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 4$

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 4$

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 4, - 4$

Step 3

Tìm tập xác định của $f (x) = \ln (x^{2} + 16)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt giá trị đối số trong $\ln (x^{2} + 16)$ lớn hơn $0$ để tìm nơi biểu thức xác định.

$x^{2} + 16 > 0$

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $16$ khỏi cả hai vế của bất đẳng thức.

$x^{2} > - 16$

Vì vế trái có số mũ chẵn, nó luôn dương cho tất cả các số thực.

Tất cả các số thực

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Step 4

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

Step 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, - 4)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $- 6$ trong biểu thức.

$f'' (- 6) = \frac{- 2 {(- 6)}^{2} + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Nhân $- 2$ với $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 72 + 32}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Cộng $- 72$ và $32$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{{({(- 6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 6$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{{(36 + 16)}^{2}}$

Cộng $36$ và $16$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{52^{2}}$

Nâng $52$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{- 40}{2704}$

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung của $- 40$ và $2704$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $8$ ra ngoài $- 40$ .

$f'' (- 6) = \frac{8 (- 5)}{2704}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $8$ ra ngoài $2704$ .

$f'' (- 6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (- 6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

Viết lại biểu thức.

$f'' (- 6) = \frac{- 5}{338}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (- 6) = - \frac{5}{338}$

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{5}{338}$ .

$- \frac{5}{338}$

Đồ thị lồi trên khoảng $(- \infty, - 4)$ vì $f'' (- 6)$ âm.

Lồi trên $(- \infty, - 4)$ vì $f'' (x)$ âm

Step 6

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- 4, 4)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 32}{{({(0)}^{2} + 16)}^{2}}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

Nhân $- 2$ với $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

Cộng $0$ và $32$ .

$f'' (0) = \frac{32}{{(0^{2} + 16)}^{2}}$

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f'' (0) = \frac{32}{{(0 + 16)}^{2}}$

Cộng $0$ và $16$ .

$f'' (0) = \frac{32}{16^{2}}$

Nâng $16$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (0) = \frac{32}{256}$

Triệt tiêu thừa số chung của $32$ và $256$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $32$ ra ngoài $32$ .

$f'' (0) = \frac{32 (1)}{256}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $32$ ra ngoài $256$ .

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 8}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (0) = \frac{32 \cdot 1}{32 \cdot 8}$

Viết lại biểu thức.

$f'' (0) = \frac{1}{8}$

Câu trả lời cuối cùng là $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8}$

Đồ thị lõm trong khoảng $(- 4, 4)$ vì $f'' (0)$ dương.

Lõm trên $(- 4, 4)$ vì $f'' (x)$ dương

Step 7

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(4, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $6$ trong biểu thức.

$f'' (6) = \frac{- 2 {(6)}^{2} + 32}{{({(6)}^{2} + 16)}^{2}}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 2 \cdot 36 + 32}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

Nhân $- 2$ với $36$ .

$f'' (6) = \frac{- 72 + 32}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

Cộng $- 72$ và $32$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{{(6^{2} + 16)}^{2}}$

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{{(36 + 16)}^{2}}$

Cộng $36$ và $16$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{52^{2}}$

Nâng $52$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (6) = \frac{- 40}{2704}$

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung của $- 40$ và $2704$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $8$ ra ngoài $- 40$ .

$f'' (6) = \frac{8 (- 5)}{2704}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $8$ ra ngoài $2704$ .

$f'' (6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (6) = \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 338}$

Viết lại biểu thức.

$f'' (6) = \frac{- 5}{338}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f'' (6) = - \frac{5}{338}$

Câu trả lời cuối cùng là $- \frac{5}{338}$ .

$- \frac{5}{338}$

Đồ thị lồi trên khoảng $(4, \infty)$ vì $f'' (6)$ âm.

Lồi trên $(4, \infty)$ vì $f'' (x)$ âm

Step 8

Đồ thị lồi khi đạo hàm bậc hai âm và lõm khi đạo hàm bậc hai dương.

Lồi trên $(- \infty, - 4)$ vì $f'' (x)$ âm

Lõm trên $(- 4, 4)$ vì $f'' (x)$ dương

Lồi trên $(4, \infty)$ vì $f'' (x)$ âm

Step 9