Giải tích Ví dụ

$y = \sqrt{64 - x^{2}}$ , $y = 0$

Step 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$\sqrt{64 - x^{2}} = 0$

Giải $\sqrt{64 - x^{2}} = 0$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{64 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{64 - x^{2}}$ ở dạng ${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn ${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân các số mũ trong ${({(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

${(64 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Viết lại biểu thức.

${(64 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Rút gọn.

$64 - x^{2} = 0^{2}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$64 - x^{2} = 0$

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Trừ $64$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x^{2} = - 64$

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 64$ cho $- 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $- x^{2} = - 64$ cho $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 64}{- 1}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 64}{- 1}$

Chia $x^{2}$ cho $1$ .

$x^{2} = \frac{- 64}{- 1}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $- 64$ cho $- 1$ .

$x^{2} = 64$

Lấy căn bậc hai của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$x = \pm \sqrt{64}$

Rút gọn $\pm \sqrt{64}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$x = \pm 8$

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$x = 8$

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$x = - 8$

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$x = 8, - 8$

Thay $8$ bằng $x$ .

$y = 0$

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(8, 0)$

$(- 8, 0)$

$(8, 0)$

$(- 8, 0)$

Step 2

Rút gọn $\sqrt{64 - x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $64$ ở dạng $8^{2}$ .

$y = \sqrt{8^{2} - x^{2}}$

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = 8$ và $b = x$ .

$y = \sqrt{(8 + x) (8 - x)}$

Step 3

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} d x - \int_{- 8}^{8} 0 d x$

Step 4

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $- 8$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} - (0) d x$

Trừ $0$ khỏi $\sqrt{(8 + x) (8 - x)}$ .

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{(8 + x) (8 - x)} d x$

Hoàn thành bình phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Khai triển $(8 + x) (8 - x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 (8 - x) + x (8 - x)$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 \cdot 8 + 8 (- x) + x (8 - x)$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 \cdot 8 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x)$

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $8$ với $8$ .

$64 + 8 (- x) + x \cdot 8 + x (- x)$

Nhân $- 1$ với $8$ .

$64 - 8 x + x \cdot 8 + x (- x)$

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $x$ .

$64 - 8 x + 8 \cdot x + x (- x)$

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$64 - 8 x + 8 x - x \cdot x$

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển $x$ .

$64 - 8 x + 8 x - (x \cdot x)$

Nhân $x$ với $x$ .

$64 - 8 x + 8 x - x^{2}$

Cộng $- 8 x$ và $8 x$ .

$64 + 0 - x^{2}$

Cộng $64$ và $0$ .

$64 - x^{2}$

Sắp xếp lại $64$ và $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 64$

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 64$

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Chuyển âm một từ mẫu số của $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Viết lại $- 1 \cdot 0$ ở dạng $- 0$ .

$d = - 0$

Nhân $- 1$ với $0$ .

$d = 0$

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 64 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$e = 64 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Nhân $4$ với $- 1$ .

$e = 64 - \frac{0}{- 4}$

Chia $0$ cho $- 4$ .

$e = 64 - 0$

Nhân $- 1$ với $0$ .

$e = 64 + 0$

Cộng $64$ và $0$ .

$e = 64$

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $- {(x + 0)}^{2} + 64$ .

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 64} d x$

Giả sử $u_{1} = x + 0$ . Sau đó $d u_{1} = d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Hãy đặt $u_{1} = x + 0$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính đạo hàm $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 0$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Vì $0$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u_{1} = x + 0$ .

$u_{lower} = - 8 + 0$

Cộng $- 8$ và $0$ .

$u_{lower} = - 8$

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u_{1} = x + 0$ .

$u_{upper} = 8 + 0$

Cộng $8$ và $0$ .

$u_{upper} = 8$

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - 8 u_{upper} = 8$

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ , $d u_{1}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{- 8}^{8} \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 64} d u_{1}$

Giả sử $u_{1} = 8 \sin (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 8 \cos (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $8 \cos (t)$ dương.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- {(8 \sin (t))}^{2} + 64} (8 \cos (t)) d t$

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn $\sqrt{- {(8 \sin (t))}^{2} + 64}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc tích số cho $8 \sin (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (8^{2} \sin^{2} (t)) + 64} (8 \cos (t)) d t$

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- (64 \sin^{2} (t)) + 64} (8 \cos (t)) d t$

Nhân $64$ với $- 1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{- 64 \sin^{2} (t) + 64} (8 \cos (t)) d t$

Sắp xếp lại $- 64 \sin^{2} (t)$ và $64$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Đưa $64$ ra ngoài $64$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) - 64 \sin^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Đưa $64$ ra ngoài $- 64 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Đưa $64$ ra ngoài $64 (1) + 64 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 (1 - \sin^{2} (t))} (8 \cos (t)) d t$

Áp dụng đẳng thức pytago.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{64 \cos^{2} (t)} (8 \cos (t)) d t$

Viết lại $64 \cos^{2} (t)$ ở dạng ${(8 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{(8 \cos (t))}^{2}} (8 \cos (t)) d t$

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 8 \cos (t) (8 \cos (t)) d t$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $8$ với $8$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 \cos (t) \cos (t) d t$

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Nâng $\cos (t)$ lên lũy thừa $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Cộng $1$ và $1$ .

$\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 64 \cos^{2} (t) d t$

Vì $64$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $64$ ra khỏi tích phân.

$64 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (t)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$64 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$64 (\frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t)$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $64$ .

$\frac{64}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Triệt tiêu thừa số chung của $64$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $64$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 32}{2 (1)} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Viết lại biểu thức.

$\frac{32}{1} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Chia $32$ cho $1$ .

$32 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$32 (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Áp dụng quy tắc hằng số.

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Giả sử $u_{2} = 2 t$ . Sau đó $d u_{2} = 2 d t$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Hãy đặt $u_{2} = 2 t$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính đạo hàm $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Thay giới hạn dưới vào cho $t$ trong $u_{2} = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{π}{2}$ vào tử số.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Viết lại biểu thức.

$u_{lower} = - π$

Thay giới hạn trên vào cho $t$ trong $u_{2} = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Viết lại biểu thức.

$u_{upper} = π$

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = - π u_{upper} = π$

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ , $d u_{2}$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Kết hợp $\cos (u_{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Tích phân của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $\sin (u_{2})$ .

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{- π}^{π})$

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (u_{2})]_{- π}^{π}$ .

$32 (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tính $t$ tại $\frac{π}{2}$ và tại $- \frac{π}{2}$ .

$32 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{\sin (u_{2})]_{- π}^{π}}{2})$

Tính $\sin (u_{2})$ tại $π$ và tại $- π$ .

$32 ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$32 (\frac{π + π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Cộng $π$ và $π$ .

$32 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$32 (\frac{2 π}{2} + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

Chia $π$ cho $1$ .

$32 (π + \frac{(\sin (π)) - \sin (- π)}{2})$

$32 (π + \frac{\sin (π) - \sin (- π)}{2})$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$32 (π + \frac{\sin (0) - \sin (- π)}{2})$

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$32 (π + \frac{0 - \sin (- π)}{2})$

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất.

$32 (π + \frac{0 - \sin (0)}{2})$

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$32 (π + \frac{0 - 0}{2})$

Nhân $- 1$ với $0$ .

$32 (π + \frac{0 + 0}{2})$

Cộng $0$ và $0$ .

$32 (π + \frac{0}{2})$

Chia $0$ cho $2$ .

$32 (π + 0)$

Cộng $π$ và $0$ .

$32 π$

Step 5