Giải tích Ví dụ

$f (x) = x e^{x}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x e^{x} + e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Tính $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $e^{x}$ và $e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = e^{x} x + 2 e^{x}$

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x e^{x} + 2 e^{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Tính $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

$f''' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (2 e^{x})$

Tính $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 e^{x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + 2 \frac{d}{d x} (e^{x})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$f''' (x) = x e^{x} + e^{x} + 2 e^{x}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $e^{x}$ và $2 e^{x}$ .

$f''' (x) = x e^{x} + 3 e^{x}$

Sắp xếp lại các số hạng.

$f''' (x) = e^{x} x + 3 e^{x}$

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$f''' (x) = x e^{x} + 3 e^{x}$

Bước 4

Đạo hàm bậc ba của $f (x)$ đối với $x$ là $x e^{x} + 3 e^{x}$ .

$x e^{x} + 3 e^{x}$